Enunciado

Para o circuito da Figura 8.97 , determine i ( t ) para t > 0 .

Passo 1

Galerinha, vamos lá. No momento t = 0^- , nós temos o circuito sendo alimentado por uma fonte de tensão, em regime permanente. Sabemos que, sob esse regime, o indutor se comporta como um fio e o capacitor como um circuito aberto.

Aqui, podemos fazer uma transformação de fonte, fazendo a fonte de tensão virar uma fonte de corrente. Logo,

I_f o n t e = (30)/(10) = 3 A

Assim, a corrente i (t) é a corrente da fonte, uma vez que os resistores ficam curto-circuitados:

i (0) = 3 A

v (0) = 0

Passo 2

Quando t > 0 , temos um circuito RLC paralelo com duas fontes de corrente. Logo, a próxima coisa que podemos começar a fazer é analisar os valores de alpha e omega_0 e achar as raízes características. Mas antes, vamos achar a resistência equivalente desse circuito:

R_e q = (40 xx 10)/(50) = 8 Ω

Agora, indo para alpha e omega_0 :

alpha = (1)/(2 R C) = (1)/(2 (8) (1 0 xx 10^(- 3))) = 6,25

omega_0 = (1)/(sqrt(L C)) = (1)/(sqrt((4) (1 0 xx 10^(- 3)))) = 5

Como temos que alpha > omega_0 , a resposta do circuito é amortecida supercrítica.

s_1,2 = - alpha +- sqrt(alpha^2 - omega_0^2) = - 10 ; - 2,5

Portanto, a equação da nossa corrente será da forma:

i (t) = I_S + [(A e^(- 10 t) + B e^(- 2,5 t))] , I_S = 6 + 3 = 9 A

Para o instante inicial t = 0 , o enunciado já nos forneceu o valor da corrente! Assim, substituindo na expressão acima t = 0 , obtemos:

i (0) = 3 = 9 + A + B

A + B = - 6

Vamos calcular a derivada da corrente?

(d i)/(d t) = [- 10 A e^(- 10 t)] + [- 2,5 B e^(- 2 , 5 t)]

Como todos os componentes estão em paralelo, as tensões em cada um dos componentes é a mesma. Assim,

v (0) = v_L (0) = L (d i (0))/(d t) = 0 = - 10 A - 2,5 B

B = - (10 A)/(2,5)

Aqui, temos o seguinte sistema de duas equações e duas incógnitas:

{[[A + B = - 6],[B = - 10 A // 2,5]])

A = 2 e B = - 8

Portanto, a nossa corrente será igual a:

i (t) = 9 + [(2 e^(- 10 t) - 8 e^(- 2,5 t))] A

Resposta

O valor para i ( t ) é:

i (t) = 9 + [(2 e^(- 10 t) - 8 e^(- 2,5 t))] A

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