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Determine f t para cada F s :

10 s s + 1 s + 2 s + 3  

Passo 1

Pois bem, para calcular a transformada de Laplace inversa temos que simplificar ao máximo a função a fim de determinar algo que conhecemos. No nosso caso...

10 s s + 1 s + 2 s + 3

Podemos usar frações parciais para desmembrar essa fração aí em três frações (lembre-se) disso...

A s + 1 + B s + 2 + C s + 3  

E duas que a gente consegue encontrar a Laplace inversa! Bora encontrar quem são A e B primeiro?

Passo 2

Então, colocando as três frações em uma só, colocando o mesmo denominador em todas elas...

A s + 1 + B s + 2 + C s + 3 = A s + 2 s + 3 s + 1 s + 2 s + 3 + B s + 1 s + 3 s + 1 s + 2 s + 3 + C s + 1 s + 2 s + 1 s + 2 s + 3 =

A s + 2 s + 3 + B s + 1 s + 3 + C s + 1 s + 2 s + 1 s + 2 s + 3  

Igualando e cancelando o denominador...

10 s s + 1 s + 2 s + 3 = A s + 2 s + 3 + B s + 1 s + 3 + C s + 1 s + 2 s + 1 s + 2 s + 3     →

A s + 2 s + 3 + B s + 1 s + 3 + C s + 1 s + 2 = 10 s

Resolvendo esses produtos aí...

A s 2 + 3 s + 2 s + 6 + B s 2 + 3 s + s + 3 + C s 2 + 2 s + s + 2 = 10 s   →

A s 2 + 5 A s + 6 A + B s 2 + 4 B s + 3 B + C s 2 + 3 C s + 2 C = 10 s

Então organizando por s 2 ,   s e constante...

A + B + C s 2 + 5 A + 4 B + 3 C s + 6 A + 3 B + 2 C = 10 s   →

Onde podemos tirar da igualdade de polinômios visto que se não tem s 2 e nem s do lado esquerdo...

A + B + C = 0

5 A + 4 B + 3 C = 1 0

6 A + 3 B + 2 C = 0

Resolvendo esse sisteminha substituindo A = - B - C na segunda...

- 5 B - 5 C + 4 B + 3 C = 1 0       →             - B - 2 C = 1 0             →

B = - 2 C - 10

Substituindo tudo na terceira...

6 A + 3 B + 2 C = 0         →       - 6 B - 6 C + 3 B + 2 C = 0         →

12 C - 6 C - 6 C + 30 + 2 C = 0   →

C = - 1 5

B = - 2 C - 10 = 2 0

A = - C - B = 1 5 - 2 0 = - 5

Ou seja, por frações parciais concluímos que...

10 s s + 1 s + 2 s + 3 = - 5 1 s + 1 + 2 0 1 s + 2 - 1 5 1 s + 3

Passo 3

Aplicando finalmente a transformada de Laplace inversa...

- 5 L - 1 1 s + 1 + 2 0 L - 1 1 s + 2 - 1 5 L - 1 1 s + 3  

Lembrando se de que:

L e - c t f t = F s + c

E também que L 1 = 1 / s , Então...

L e - c t = 1 s + c  

Ou seja, no nosso caso...

- 5 L - 1 1 s + 1 + 2 0 L - 1 1 s + 2 - 1 5 L - 1 1 s + 3 =

- 5 e - t + 2 0 e - 2 t - 15 e - 3 t    

Resposta

- 5 e - t + 20 e - 2 t - 15 e - 3 t    

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