Enunciado

4- Determine a expansão em série de Fourier da forma de onda mostrada na Figura 17.48 . Determine os espectros de amplitudes e de fases.

Passo 1

O período dessa onda é de:

T = 2   s

Dessa forma ω será:

ω = 2 π 2 = π

E o comportamento dessa onda no período de 0 até 2   s é:

f t = 10 - 5 t

Pois quando t = 0 , f t = 10 e quando t = 2 , f t = 0

Passo 2

Dessa forma vamos calcular os parâmetros da série de Fourier:

a o = 1 T ∫ 0 2 10 - 5 t d t

a o = 1 2 10 t - 5 t 2 2 0 2 = 1 2 20 - 20 2 = 5

Passo 3

Agora a n será:

a n = 2 T ∫ 0 2 10 - 5 t cos ⁡ n ω o t d t

Então:

a n = ∫ 0 2 10 cos ⁡ n π t d t - ∫ 0 2 5 t cos ⁡ n π t d t

a n = 10 n π sin ⁡ n π t 0 2 - ∫ 0 2 5 t cos ⁡ n π t d t

Onde:

sin ⁡ 2 π n - sin ⁡ 0 = 0

Uma vez que n é um número inteiro.

Então:

a n = - ∫ 0 2 5 t cos ⁡ n π t d t

Fazendo integração por partes temos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde:

u = t → d u = 1

d v = cos ⁡ n π t → v = 1 n π s i n ⁡ ( n π t )

Então:

∫ 0 2 t cos ⁡ n π t d t = t n π sin ⁡ n π t - ∫ 1 n π sin ⁡ n π t d t

= t n π sin ⁡ n π t + 1 n 2 π 2 cos ⁡ n π t 0 2  

Aplicando esse intervalo vemos que:

a n = - 5 × t n π sin ⁡ 2 π n - t n π sin ⁡ 0 + 1 n 2 π 2 cos ⁡ 2 π n - 1 n 2 π 2 cos ⁡ 0

Assim como sin ⁡ 2 π n = sin ⁡ 0 = 0 para n inteiro e :

1 n 2 π 2 cos ⁡ 2 π n - 1 n 2 π 2 cos ⁡ 0 = 1 n 2 π 2 - 1 n 2 π 2 = 0

Então:

a n = 0

Passo 4

Agora para o valor de b n temos:

b n = 2 T ∫ 0 2 10 - 5 t sin ⁡ n ω o t d t

Isso será:

b n = ∫ 0 2 10 sin ⁡ n π t d t - 5 ∫ 0 2 t sin ⁡ n π t d t

Isso será:

b n = 10 n π - cos ⁡ n π t 0 2 - 5 ∫ 0 2 t sin ⁡ n π t d t

Onde:

10 n π - cos ⁡ 2 π n + cos ⁡ 0 = - 10 n π + 10 n π = 0

Pois n   sempre será inteiro.

Então:

b n = - 5 ∫ 0 2 t sin ⁡ n π t d t

Fazendo integração por partes temos:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Onde:

u = t → d u = 1

d v = sin ⁡ n π t → v = - 1 n π c o s ( n π t )

Então:

b n = - 5 - t n π + ∫ 1 n π cos ⁡ n π t

b n = 5 t n π + sin ⁡ n π t n 2 π 2 0 2

b n = 10 n π + s i n ⁡ ( 2 π n ) n 2 π 2 - s i n ⁡ ( 0 ) n 2 π 2

Já que n é um número inteiro, então:

s i n ⁡ ( 2 π n ) n 2 π 2 - sin ⁡ 0 n 2 π 2 = 0 - 0 = 0

Dessa forma:

b n = 10 n π

Passo 5

Com esses coeficientes nós temos:

f t = 5 + ∑ n = 1 ∞ 10 n π sin ⁡ n π t

E plotando 100 pontos nós teremos o seguinte gráfico.

E isso nos diz que estamos certos...

Passo 6

Para os espectros de amplitude e de fase, temos que fazer os gráficos de A n = a n 2 + b n 2 = b n ( a n = 0 ) e ϕ n = - 90 ° com n ω = n π .

Primeiro, plotando A n com n π :

Agora, fazendo o espectro de fase:

Beleza?? Fechamos o exercício! 😊

Resposta

a o = 5

a n = 0

b n = 10 n π

f t = 5 + ∑ n = 1 ∞ 10 n π sin ⁡ n π t

Ver Outros Exercícios desse livro