Enunciado

Determine a frequência central e a largura de banda dos filtros passa-faixa na Figura 14.88

Letra a)

Passo 1

Letra a) Filtro passa-faixa composto por um circuito com Resistores e capacitores

Se liga ai! O circuito é o observado abaixo. Primeiramente vamos nomear duas correntes neste circuito, são estas a corrente total I   e a corrente I 1   que irá circular pela saída   V 0   . Outro passo importante é passar todos os componentes para suas respectivas impedâncias

Passo 2

Vamos determinar a impedância total do circuito definida como Z ( s ) . Primeiro vamos encontrar Z 1   composto pela associação em série do capacitor com resistor final

Z 1 = 1 s C + R

Em seguida esta associação estará em paralelo com o primeiro capacitor, logo

Z 2 = Z 1   | | 1 s C = 1 s C 1 s C + R 1 s C + 1 s C + R

Que resultará em

Z 2 = 1 s 2 C 2 + R s C 2 s C + R   → 1 s C + R 2 + s R C

Somado ao primeiro resistor em série com Z 2

Z ( s ) = R + 1 s C + R 2 + s R C   →   R 2 + s R C 2 + s R C + 1 s C + R 2 + s R C   →   2 R + s R 2 C + 1 s C + R 2 + s R C  

Logo

Z s = 3 R + s R 2 C + 1 s C 2 + s R C   →   s 3 R C + s 2 R 2 C 2 + 1 s C 2 + s R C

Passo 3

Com Z   podemos encontrar I pela lei de Ohm

I = V s Z

E a corrente I 1   que passa pelo capacitor e resistor final pode ser encontrada pelo divisor de corrente

I 1 = 1 / s C 2 / s C + R ⋅ I   → 1 s C 2 s C + R ⋅ V s Z     → V s 2 + s R C ⋅ Z

Como a tensão V 0 é encontrada por

V 0 = R I 1  

Logo I 1 também é

I 1 = V 0 R

Passo 4

Igualando o encontrado no passo 3

V 0 R = V s 2 + s R C ⋅ Z  

Obteremos

H s = V 0 V s =   R 2 + s R C ⋅ Z

Passo 5

Substituindo Z

H s = V 0 V s =   R 2 + s R C ⋅ s C 2 + s R C s 3 R C + s 2 R 2 C 2 + 1

Simplificando 2 + s R C   e organizando termo a termo

H s = s R C s 3 R C + s 2 R 2 C 2 + 1

Passo 6

O passo seguinte é colocar a função de transferência na forma padrão do filtro passa-faixa

H s = s B s 2 + s B + ω 0 2  

Dividindo a expressão encontrada no passo anterior por R 2 C 2

H s = s 1 R C s 2 + s 3 R C + 1 R 2 C 2

Multiplicando em cima e em baixo por 3 3   e em seguida colocando 1 3   em evidência, obteremos finalmente

H s = 1 3 ⋅ s 3 R C s 2 + s 3 R C + 1 R 2 C 2

Desta forma, por comparação a largura de banda B   será

B = 3 R C

Como R = 1 Ω   e C = 1 F

B = 3   r a d / s

E a frequência central ω 0

ω 0 = 1 R C

ω 0 = 1   r a d / s

Resposta

Letra a)

A largura de banda é B = 3 r a d / s

A frequência central é igual a ω 0 = 1   r a d / s

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