Enunciado

Determine as funções correspondentes para as seguintes transformadas de Fourier:

  1. F 1 ω = e j ω - j ω + 1
  2. F 2 ω = 2 e ω
  3. F 3 ω = 1 1 + ω 2 2
  4. F 4 ω = δ ( ω ) 1 + j 2 ω

Passo 1

Legal pessoal, vamos lá! Em questões que usaremos Fourier sempre é interessante que você tenha a tabelinha de propriedades! A gente faz pois isso facilita muito o seu trabalho e ajuda a memorizar. Fechou? Então vamos pra cima!

Passo 2

Primeiro, temos que para o item a),

Como e - j ω j ω + 1 = e - t - 1 u t - 1 e F - ω → f ( - t )

Temos que,

F 1 ω = e j ω - j ω + 1 → f 1 t = e - - t - 1 u ( - t - 1 )

f 1 t = e t + 1 u ( - t - 1 )

Passo 3

Para o item b), usaremos uma negócio lá da seção 17.3!

2 t 2 + 1 → 2 π e - ω

Se F 2 ω = 2 e - ω , Logo,

f 2 t = 2 π ( t 2 + 1 )

Entederam? Basta dividir por π nas transformações!

Passo 4

Para o item c) vamos usar a técnica das frações parciais!

F 3 ω = 1 j ω + 1 2 j ω - 1 2 = 1 4 j ω + 1 2 + 1 4 ( j ω + 1 ) + 1 4 j ω - 1 2 - 1 4 ( j ω - 1 )

Calculando isso e transformando,

f 3 t = 1 4 t e - t + e - t + t e t - e t u t

= 1 4 t + 1 e - t u t + 1 4 t - 1 e t u ( t )

Passo 5

Por fim, para o item d), vamos usar a propriedade da integral pra resolver! Bem simples!

f 4 t = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ F 1 ω e j ω t d ω = 1 2 π ∫ - ∞ ∞ δ ω e j ω t 1 + j 2 ω = 1 2 π

Resposta

a ) f 1 t = e t + 1 u ( - t - 1 )

b ) f 2 t = 2 π ( t 2 + 1 )

c ) f 3 t = 1 4 t + 1 e - t u t + 1 4 t - 1 e t u ( t )

d ) f 4 t = 1 2 π

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