Enunciado

Determine a largura de banda e a frequência de corte do filtro rejeita-faixa da Figura 14.89.

Passo 1

O circuito é o observado abaixo já com os componentes nas suas respectivas impedâncias

Neste foi dado os valores de

R 0 = 6 Ω

R = 4 Ω

C = 4 μ F

L = 1 m H

Passo 2

Vamos determinar a impedância total do circuito definida como Z ( s ) . Primeiro vamos encontrar Z 1   composto pela associação em série do capacitor com indutor

Z 1 = 1 s C + s L

Em seguida esta associação estará em paralelo com o resistor R , logo

Z = R   | | Z 1 = R 1 s C + s L R + 1 s C + s L

Multiplicando em cima e em baixo por s C

Z = R 1 + s 2 L C s R C + 1 + s 2 L C

Passo 3

Logo a função de transferência será

H s = V 0 V i = Z Z + R 0

Substituindo Z

H s = R 1 + s 2 L C s R C + 1 + s 2 L C R 1 + s 2 L C s R C + 1 + s 2 L C + R 0

Para que seja possível simplificar vamos multiplicar R 0 pelo denominador de Z isso será igual a

H s = R 1 + s 2 L C R 1 + s 2 L C + R 0 s R C + 1 + s 2 L C       →     R 1 + s 2 L C R + s 2 R L C + s R R 0 C + R 0 + s 2 R 0 L C  

Para s = j ω

H s = R 1 - ω 2 L C R 0 + j ω R R 0 C + R - ω 2 R 0 L C - ω 2 R L C

Passo 4

Podemos ainda encontrar a frequência de ressonância por meio da equação

ω 0 = 1 L C

Como possuímos o valor de L e C

ω 0 = 1 1 ⋅ 10 - 3 4 ⋅ 10 - 6 = 15,811 k r a d / s

Passo 5

O valor máximo da função de transferência é encontrado a frequência zero, logo

H m a x = H 0 = R R 0 + R

Ou quando a frequência tende ao infinito

H m a x = H ∞ =   lim ω → ∞ ⁡ R 1 ω 2 - L C R 0 + R ω 2 + j R R 0 C ω - L C R + R 0 = R R + R 0

Passo 6

Para encontrar ω 1 e ω 2 . Vamos partir do modulo da função e transferência, de modo que

H = H m a z 2

Então

R 1 - ω 2 L C R 0 + j ω R R 0 + R - ω 2 R 0 L C - ω 2 R L C = R 2 R + R 0

O numerado do lado esquerdo possui apenas números reais logo é necessário tirar o modulo apenas do denominador que contem componentes complexas

R 1 - ω 2 L C ω R R 0 C 2 + R 0 + R - ω 2 L C R 0 + R 2 = R 2 R + R 0

Isolando   1 / 2

R + R 0 1 - ω 2 L C ω R R 0 C 2 + R 0 + R - ω 2 L C R 0 + R 2 = 1 2

O passo seguinte é substituir os valores dos componentes e fazer a multiplicação cruzada.

4 + 6 1 - ω 2 ⋅ 4 ⋅ 10 - 9 ( 2 ) ω ⋅ 96 ⋅ 10 - 6 2 + 6 + 4 - ω 2 ⋅ 4 ⋅ 10 - 9 6 + 4 2 = 1

Colocando tudo sobre o mesmo denominador

10 - ω 2 ⋅ 4 ⋅ 10 - 8 2 =   ω ⋅ 96 ⋅ 10 - 6 2 + 10 - ω 2 ⋅ 4 ⋅ 10 - 8 2

Elevando tudo ao quadrado

10 - ω 2 ⋅ 4 ⋅ 10 - 8 2 2 = ω ⋅ 96 ⋅ 10 - 6 2 + 10 - ω 2 ⋅ 4 ⋅ 10 - 8 2

Como a parcela 10 - ω 2 ⋅ 4 ⋅ 10 - 8 2 pode ser subtraída dos dois lados ficamos com

10 - ω 2 ⋅ 4 ⋅ 10 - 8 2 = ω ⋅ 96 ⋅ 10 - 6 2

Depois de toda essa álgebra, vamos abrir o produto e ficar com.

1,6 ⋅ 10 - 15 ω 4 - 8,092 ⋅ 10 - 7 ω 2 + 100 = 0

Que sendo dividido por 1,6 ⋅ 10 - 15 é

ω 4 - 5,058 ⋅ 10 8 ω 2 + 6,25 ⋅ 10 16 = 0

Passo 7

O este polinômio encontraremos no mínimo 4 raízes, contudo só precisaremos de duas, e as duas positivas, já que não há frequência negativa

Chamaremos ω 2 = X , logo ω 4 = X 2

Dessa forma nossa equação de quarta ordem vira uma equação de 2 ordem, e essa sai ...

X 2 - 5,058 ⋅ 10 8 X + 6,25 ⋅ 10 16 = 0

X 1 = 2,9109 ⋅ 10 8

X 2 = 2,1471 ⋅ 10 8

Para encontrar ω 1 basta usar a raiz positiva de X 2

ω 1 = X 2 = 14,653 ⋅ 10 3 r a d / s

Para encontrar ω 2 basta usar a raiz positiva de X 1

ω 2 = X 1 = 1 7,061 ⋅ 10 3 r a d / s

E a largura de banda é calculada por

B = ω 2 - ω 1

B = 2,408 ⋅ 10 3 r a d / s

Resposta

B = 2,408 ⋅ 10 3 r a d / s

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