Enunciado

7- Determine a série de Fourier da função periódica na Figura 17.50 .

Passo 1

O período dessa onda é igual a:

T = 3   s

Então ω será:

ω = 2 π T = 2 π 3

E a equação dessa função dentro desse período é:

f t = 2   ; 0 < t < 2

f t = - 1 ; 2 < t < 3

Passo 2

Então o valor de a o será:

a o = 1 T ∫ 0 2 2   d t + ∫ 2 3 - 1 d t

a o = 1 3 4 - 1 3 - 2

a o = 4 - 1 3 = 1

Passo 3

Agora para o valor de a n :

a n = 2 3 ∫ 0 2 2 cos ⁡ 2 π n 3 t   d t + ∫ 2 3 - cos ⁡ 2 π n 3 t d t

a n = 2 3 6 2 π n sin ⁡ 2 π n 3 t 0 2 - 3 2 π n sin ⁡ 2 π n 3 t 2 3

a n = 2 π n sin ⁡ 4 π n 3 - 2 π n sin ⁡ 0 - 1 π n sin ⁡ 2 π n + 1 π n sin ⁡ 4 π n 3

a n = 3 π n sin ⁡ 4 π n 3

Uma vez que:

sin ⁡ 0 = sin ⁡ 2 π n = 0

Passo 4

Agora para b n :

b n = 2 3 ∫ 0 2 2 s in ⁡ 2 π n 3 t   d t + ∫ 2 3 - sin ⁡ 2 π n 3 t d t

b n = 2 3 - 6 2 π n cos ⁡ 2 π n t 3 0 2 + 3 2 π n cos ⁡ 2 π n t 3 2 3

b n = - 2 π n cos ⁡ 4 π n 3 + 2 π n cos ⁡ 0 + 1 π n cos ⁡ 2 π n - 1 π n cos ⁡ 4 π n 3

b n = - 3 π n cos ⁡ 4 π n 3 + 1 π n 2 + 1

Pois c o s ⁡ ( 2 π n ) sempre será 1 :

b n = 3 π n 1 - cos ⁡ 4 π n 3

Passo 5

Agora por que utilizar o MATLAB que é um programa pesadão e chato de instalar enquanto você pode usar uma aplicação web com uma comunidade aberta como o Desmos.

A equação a se colocar é:

f t = 1 + ∑ n = 1 ∞ 3 π n sin ⁡ 4 π n 3 cos ⁡ 2 π 3 n t + 3 π n 1 - cos ⁡ 4 π n 3 sin ⁡ 2 π 3 n t  

Ou segue o link para 100 pontos.

https://www.desmos.com/calculator/aqy6d3phwr

Resposta

a o = 1

a n = 3 π n sin ⁡ 4 π n 3

b n = 3 π n 1 - cos ⁡ 4 π n 3

f t = 1 + ∑ n = 1 ∞ 3 π n sin ⁡ 4 π n 3 cos ⁡ 2 π 3 n t + 3 π n 1 - cos ⁡ 4 π n 3 sin ⁡ 2 π 3 n t

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