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Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções:

3 t 4 e - 2 t u t

Passo 1

Antes de qualquer coisa, observe que a função que precisamos buscar a Laplace é multiplicada por um degrau que começa em 0 :

u t = u 0 t

Toda vez que a gente tem um degrau do tipo, é como se não tivesse, ok? Então...

L 3 t 4 e - 2 t u t =

L t 4 ⋅ 3 e - 2 t

Isso já simplifica um pouquinho, né? Agora, ainda temos um t 2 multiplicando o cosseno ali. O que isso significa em termos de Laplace? Ora, de acordo com a teoria...

L t n g t = - 1 n d n d s n L g t

Então...

L t 4 ⋅ 3 e - 2 t = - 1 4 d 4 d s 4 L 3 e - 2 t

Então, bora encontrar essa transformada da exponencial então?

Passo 2

L 3 e - 2 t = 3 L e - 2 t

Ora, a Laplace da exponencial é assim:

L e - a t = 1 s + a

Então...

L 3 e - 2 t = 3 L e - 2 t =

3 s + 2

Passo 3

Agora, partiu calcular as derivadas?

L t 4 ⋅ 3 e - 2 t = - 1 4 d 4 d s 4 L 3 e - 2 t =

3 d 4 d s 4 1 s + 2

Ora, a primeira derivada disso aí é:

d d s 1 s + 2 = - 1 s + 2 2

A segunda derivada é:

d 2 d s 2 1 s + 2 = d d s - 1 s + 2 2 =

d d s - s + 2 - 2 = 2 s + 2 3

A terceira derivada...

d 3 d s 3 1 s + 2 = d d s 2 s + 2 3 =

d d s 2 s + 2 - 3 = - 2 ⋅ 3 s + 2 4

Já a quarta, por sua vez...

d 4 d s 4 1 s + 2 = d d s - 2 ⋅ 3 s + 2 4 =

d d s - 2 ⋅ 3 s + 2 - 4 = 2 ⋅ 3 ⋅ 4 s + 2 5

Então finalmente podemos falar quem é a Laplace que estávamos procurando:

L t 4 ⋅ 3 e - 2 t = - 1 4 d 4 d s 4 L 3 e - 2 t =

3 d 4 d s 4 L e - 2 t =

3 d 4 d s 4 1 s + 2 =

3 2 ⋅ 3 ⋅ 4 s + 2 5 = 72 s + 2 5

Resposta

L 3 t 4 e - 2 t u t = 72 s + 2 5

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