Enunciado

Determine a transformada de Laplace da função da Figura

Passo 1

A primeira coisa a se fazer aqui é escrever essas retas aí em forma de função. Ora, toda reta pode ser escrita assim:

y = a t + b

Atenção! Essas retas verticais não são funções e, portanto, não precisam ser escritas. Não tem problema algum, pois vamos descrever futuramente a f t usando degrau e a própria definição de degrau já tem uma reta vertical:

Passo 2

Para a primeira reta crescente, sabemos dois pontos dela em particular: 0 ,   0 e 1 ,   5 . Então...

0 ,   0       →                   0 = 0 + b       o u       b = 0

1 ,   5       →                   5 = a + b             →                    

a = 5

Então a primeira reta é

y = 5 t

Passo 3

Para a terceira reta, sabemos que ela começa em t = 3 e que ela é facilmente obtida deslocando a reta que já em encontramos em 3 unidades pra direita em t , o que equivale fazer...

y = 5 t - 3 =

5 t - 15

Passo 4

Para a segunda reta, sabemos que ela começa em t = 6 , ou seja precisamos deslocar 6 unidades pra direita em t , o que equivale fazer...

y = 5 t - 6 =

5 t - 30

Passo 5

Com a equação das retas encontradas, a gente tem que descrever a figura em uma função f t usando o conceito de degraus...

Bem, de - ∞ até 0 , a função f t vale 0 e de 0 até 1 ela passa ser igual a equação da reta. Se a gente multiplicar então a equação da primeira reta por um degrau começando em 0 ...

f t = 5 t u t - 0

A gente ganha o que a gente falou aqui: “de - ∞ até 0 , a função f t vale 0 e de 0 até 1 ela passa ser igual a equação da reta”. Afinal, o degrau tem a seguinte definição:

u t - c = 0 ,     t < c 1 ,                   t ≥ c

Assim, antes de t = 0 , f t = 0 e depois de t = 0 , o degrau vira 1 e f t = 5 t . Mas atenção! f t só vale 5 t até t = 1 . Depois desse ponto f t para de ser essa reta e vira 0 até t = 3 :

  • Parar de ser a reta crescente, significa que f t volta a ser 0 somando nesse instante t = 1 o negativo:

f t = 5 t u t - 0 - 5 t u t - 1

Perceba que antes de t = 1 , nada mudou, pois u t - 1 = 0 , mas depois de t = 1 , u t - 1 = 1 e f t vira 0 , como queríamos.

Mas atenção novamente! A função não é a 0 para sempre! Após t = 3 ela volta a virar uma reta (dessa vez a da segunda rampa). O que significa adicionar ( 5 t - 15 ) u t - 3 :

f t = 5 t u t - 0 - 5 t u t - 1 + 5 t - 15 u t - 3

Após t = 4 ela volta a ser 0 :

f t = 5 t u t - 0 - 5 t u t - 1 + 5 t - 15 u t - 3 - 5 t - 15 u t - 4

Acho que já pegou a ideia, ne? Após t = 6 , ela vira a outra rampa...

f t = 5 t u t - 0 - 5 t u t - 1 + 5 t - 15 u t - 3 - 5 t - 15 u t - 4 + 5 t - 30 u t - 6

Por último, após t = 7 , ela volta a ser 0 e fica pra sempre 0 :

f t = 5 t u t - 0 - 5 t u t - 1 + 5 t - 15 u t - 3 - 5 t - 15 u t - 4 + 5 t - 30 u t - 6 - 5 t - 30 u t - 7

PRONTINHO! Como verificamos cada trecho (de t indo de - ∞ até ), a função está completamente descrita!

Passo 6

Finalmente, podemos fazer o que se pede: A transformada de Laplace.

L f t = L 5 t u t - 0 - 5 t u t - 1 + 5 t - 15 u t - 3 - 5 t - 15 u t - 4 + 5 t - 30 u t - 6 - 5 t - 30 u t - 7

Pois bem, a Laplace de uma função multiplicada por um degrau se calcula assim:

L f t - c u t - c = e - c s L f t

Então vamos tentar colocar todo mundo aí nesse formato:

L f t = 5 L t u t - 5 L t u t - 1 + 5 L t - 3 u t - 3 - 5 L t - 3 u t - 4 + 5 L t - 6 u t - 6 - 5 L t - 3 u t - 7

Perceba que todos esses que já são positivo, já estão no formato que a gente quer :

L f t = 5 e 0 L 1 - 5 L t u t - 1 + 5 e - 3 s L t - 5 L t - 3 u t - 4 + e - 6 s L t - 5 L t - 3 u t - 7

Como L 1 = 1 / s e L t = 1 / s 2 ...

L f t = 5 1 s - 5 L t u t - 1 + 5 e - 3 s s 2 - 5 L t - 3 u t - 4 + e - 6 s s 2 - 5 L t - 3 u t - 7

Para os negativo, a gente vai usar o truque do tira 1 e põe 1 :

L f t = 5 1 s - 5 L t - 1 + 1 u t - 1 + 5 e - 3 s s 2 - 5 L t - 4 + 1 u t - 4 + e - 6 s s 2 - 5 L t - 7 + 1 u t - 7 →

L f t = 5 1 s - 5 L t - 1 u t - 1 + u t - 1 + 5 e - 3 s s 2 - 5 L t - 4 u t - 4 + u t - 4 + e - 6 s s 2 - 5 L t - 7 u t - 7 + u t - 7

Então...

L f t = 5 1 s - 5 e - s s 2 + e - s s + 5 e - 3 s s 2 - 5 e - 4 s s 2 + e - 4 s s + e - 6 s s 2 - 5 e - 7 s s 2 + e - 7 s s

PRONTINHO .

Resposta

L f t = 5 1 s - 5 e - s s 2 + e - s s + 5 e - 3 s s 2 - 5 e - 4 s s 2 + e - 4 s s + e - 6 s s 2 - 5 e - 7 s s 2 + e - 7 s s

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