Enunciado

Obtenha as transformadas de Laplace das funções na figura.

Passo 1

A primeira coisa a se fazer aqui é escrever essas três retas aí em forma de função. Ora, toda reta pode ser escrita assim:

y = a t + b

Passo 2

Para a primeira reta (crescente), sabemos dois pontos dela em particular: 0 ,   0 e 1 ,   2 . Então...

0 ,   0       →                   0 = 0 + b       o u       b = 0

1 ,   2       →                   2 = a + b                                            

  a = 2

Então a primeira reta é

y = 2 t

Passo 3

Para a segunda reta (reta plana), ela é constante, então não precisamos fazer nada, só saber qual é o valor de y dela:

y = 2

Passo 4

Para a terceira reta (decrescente) temos os pontos: 3 ,   2 e 4 ,   0 :

3 ,   2       →                   2 = 3 a + b  

  4 ,   0       →                   0 = 4 a + b  

Isolando b na segunda equação...

b = - 4 a

Então...

2 = 3 a - 4 a     →         2 = - a     →

a = - 2

E

b = - 4 a = 8

Então a terceira reta é...

y = - 2 t + 8

Passo 5

Com a equação das retas encontradas, a gente tem que descrever a figura em uma função f t usando o conceito de degraus...

Bem, de - ∞ até 0 , a função f t vale 0 e de 0 até 1 ela passa ser igual a equação da reta crescente. Se a gente multiplicar então a equação da primeira reta por um degrau começando em 0 ...

f t = 2 t u t - 0

A gente ganha o que a gente falou aqui: “de - ∞ até 0 , a função f t vale 0 e de 0 até 1 ela passa ser igual a equação da reta”. Afinal, o degrau tem a seguinte definição:

u t - c = 0 ,     t < c 1 ,                   t ≥ c

Assim, antes de t = 0 , f t = 0 e depois de t = 0 , o degrau vira 1 e f t = 2 t . Mas atenção! f t só vale 2 t até t = 1 . Depois desse ponto f t para de ser essa reta e passa a ser a outra reta (a constante):

  • Parar de ser a reta crescente, significa que f t volta a ser 0 somando nesse instante t = 1 o negativo:
  • f t = 2 t u t - 0 - 2 t u t - 1

    Perceba que antes de t = 1 , nada mudou, pois u t - 1 = 0 , mas depois de t = 1 , u t - 1 = 1 e f t vira 0 , como queríamos.

  • Mas nesse mesmo instante que paramos de ser uma reta, a gente passa a ser outra, então...

f t = 2 t u t - 0 - 2 t u t - 1 + 2 u t - 1

Pode conferir: t > 1

f t = 2 t - 2 t + 2 = 2

Viu só! Depois de t = 1 a função vira a reta constante.

Após t = 3 , a função deixa de ser constante e passa a ser a reta decrescente, o que significa fazer novamente o que fizemos anteriormente:

f t = 2 t u t - 0 - 2 t u t - 1 + 2 u t - 1 - 2 u t - 3 + - 2 t + 8 u t - 3

Mas atenção novamente! A função não é a reta decrescente para sempre! Após t = 4 ela para de ser essa reta novamente ( f t = 0 ). Como podemos parar uma função em notação de degrau? Isso mesmo, acrescentando o inverso no tempo de parada ( t = 4 ):

f t = 2 t u t - 0 - 2 t u t - 1 + 2 u t - 1 - 2 u t - 3 + - 2 t + 8 u t - 3 - - 2 t + 8 u t - 4

PRONTINHO! Como verificamos cada trecho (de t indo de - ∞ até ), a função está completamente descrita!

Passo 6

Finalmente, podemos fazer o que se pede: A transformada de Laplace! Mas antes só vamos dar uma arrumada aqui:

f t = 2 t u t - 0 - 2 t u t - 1 + 2 u t - 1 - 2 u t - 3 + - 2 t + 8 u t - 3 - - 2 t + 8 u t - 4   →

f t = 2 t u t - 0 - 2 t - 1 u t - 1 - 2 t - 3 u t - 3 + 2 t - 4 u t - 4

Pois bem, a Laplace de uma função multiplicada por um degrau se calcula assim:

L f t - c u t - c = e - c s L f t

Então perceba que todos já estão no formato que a gente quer :

L f t = 2 e 0 L t - 2 e - s L t - 2 e - 3 s L t + 2 e - 4 s L t

Como L 1 = 1 / s e L t = 1 / s 2 ...

L f t = 2 1 s 2 - 2 e - s s 2 - 2 e - 3 s s 2 + 2 e - 4 s s 2 =

2 - 2 e - s - 2 e - 3 s + 2 e - 4 s s 2

Resposta

2 - 2 e - s - 2 e - 3 s + 2 e - 4 s s 2

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