Enunciado

Determine as transformadas de Fourier dos sinais exibidos na Figura 18.3 2 .

Passo 1

Galerinha, vamos pra letra (a)! Podemos expressar essa função da seguinte maneira:

f t = 2 ,     0 < t < 1 4 - 2 t ,           1 < t < 2

Aplicando a transformada de Fourier:

F ω = ∫ - ∞ ∞ f t e - j ω t d t

F ω = ∫ 0 1 2 e - j ω t d t + ∫ 1 2 4 - 2 t e - j ω t d t

F ω = 2 e - j ω t - j ω 0 1 + 4 e - j ω t - j ω 1 2 - 2 e - j ω t - j ω 2 - j ω t - 1 1 2

F ω = - 2 e - j ω j ω + 2 j ω + - 4 e - j 2 ω j ω + 4 e j ω t j ω

F ω = 2 e - j 2 ω - j ω 2 - j 2 ω - 1 - 2 e - j ω - j ω 2 - j ω - 1

F ω = 2 j ω + 2 e - j ω - e - j 2 ω ω 2

Passo 2

Agora a letra (b). Podemos expressar essa função da seguinte maneira:

g ( t ) = 2 ,     - 2 < t < - 1 1 ,     - 1 < t < 0 2 ,     1 < t < 2

A primeira derivada é:

g ' t = 2 δ t + 2 - δ t + 1 + δ t + 1 + δ t - 1 - 2 δ ( t - 2 )

Aplicando a transformada de Fourier, temos:

j ω G ω = 2 e j 2 ω - e j ω + e - j ω - 2 e - j 2 ω

G ω = 2 e j 2 ω - e j ω + e - j ω - 2 e - j 2 ω j ω

G ω = 2 e j 2 ω - e - j 2 ω j ω - e j ω - e - j ω j ω

Lembram dessa relação trigonométrica?

s e n t = e j t - e - j t 2 j

Assim,

G ω = 4 sen ⁡ 2 ω - 2 sen ⁡ ω ω

Resposta

  1. F ω = 2 j ω + 2 e - j ω - e - j 2 ω ω 2
  2. G ω = 4 sen ⁡ 2 ω - 2 sen ⁡ ω ω
Ver Outros Exercícios desse livro