Enunciado

Obtenha as transformadas de Fourier dos sinais mostrados na Figura 18.35 .

Passo 1

Galerinha, vamos pra letra (a)! Podemos expressar essa função da seguinte maneira:

x t = e - t ,     0 < t < ∞ 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Aplicando a transformada de Fourier:

X ω = ∫ - ∞ ∞ x t e - j ω t d t

X ω = ∫ 0 ∞ e - t e - j ω t d t

X ω = e - j ω + 1 t - j ω + 1 0 ∞

X ω = 0 + 1 1 + j ω = 1 1 + j ω

Passo 2

Agora a letra (b). Podemos expressar essa função da seguinte maneira:

y t = e - t ,     0 < t < 1 e t ,     - 1 < t < 0 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

Aplicando a transformada de Fourier:

Y ω = ∫ - ∞ ∞ y t e - j ω t d t

Y ω = ∫ 0 1 e - t e - j ω t d t + ∫ - 1 0 e t e - j ω t d t

Y ω = e - 1 + j ω t - 1 + j ω 0 1 + e 1 - j ω t 1 - j ω - 1 0

Y ω = - e - 1 + j ω 1 + j ω + 1 1 + j ω + 1 1 - j ω - e - 1 - j ω 1 - j ω

Y ω = 2 1 + ω 2 - 1 - j ω e - 1 + j ω + 1 + j ω e - 1 - j ω 1 + ω 2

Y ω = 2 1 + ω 2 - e - 1 e j ω + e - j ω + j ω e j ω + e - j ω 1 + ω 2

Lembram dessas relações trigonométricas?

s e n t = e j t - e - j t 2 j

cos ⁡ ( t ) = e j t + e - j t 2

Assim,

Y ω = 2 1 + ω 2 - 2 e - 1 cos ⁡ ω - ω sen ⁡ ω 1 + ω 2

Y ω = 2 - 2 e - 1 cos ⁡ ω - ω sen ⁡ ω 1 + ω 2

Resposta

  1. X ω = 1 1 + j ω
  2. Y ω = 2 - 2 e - 1 cos ⁡ ω - ω sen ⁡ ω 1 + ω 2
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