Enunciado

Determine as transformadas de Laplace das funções na figura:

Passo 1

Bem, para começo de conversa, observe aqui que a função g t é periódica de período igual a 1 :

g t = g t + 1

Se a gente considerar como sendo x t apenas o trechinho que depois vai se repetir:

De acordo com a teoria de transformadas de funções periódicas, a transformada da função f será:

G s = 1 1 - e - s X s

Então agora temos que encontrar a transformada da função X t ! Bora?

Passo 2

Primeiramente, quem é a função x t de uma forma matematicamente falando? Bem, ela é um pedacinho de reta até 1 e depois ela é 0 eternamente, certo?

x t = r e t a ,         0 ≤ t ≤ 1 0 ,                 t > 1

E quem é essa reta?

Bem, podemos encontrar a equação dela através de 2 pontos conhecidos lembrando-se de que a equação da reta é y = a t + b .   Os dois pontos conhecidos são 0 ,   0 e 1 ,   2 :

0 ,   0             →                 0 = 0 ⋅ a + b

1 ,   2             →                 2 = 1 ⋅ a + b

Da primeira tiramos que b = 0 e da segunda tiramos que a = 2 - b = 2 .

Logo, podemos então falar que x é...

x t = 2 t ,         0 ≤ t ≤ 1 0 ,                 t > 1

Agora, para termos a Laplace dessa função, temos que coloca-la em notação de degrau! Bora?

Passo 3

Bem, perceba que antes de t = 0 , a função x é 0 - não é falado no problema, mas sabemos disso já que g t só tem definição de 0 em diante. Depois de t = 0 , ela passa a ser a r e t a , podemos escrever isso em forma de degrau:

x t = 2 t u t

Mas ela não é a reta para sempre, afinal em t = 1 , ela se transforma em 0 :

x t = 2 t u t - 2 t u t - 1

Prontinho! Depois de t = 1 a x é 0 para todo o sempre! Pode verificar .

Passo 4

Finalmente podemos encontrar a Laplace de x t ...

L x t = L 2 t u t - 2 t u t - 1 =

2 L t u t - 2 L t u t - 1

Ora bolas, sabemos que a transformada de função vezes o degrau é da seguinte maneira:

L x t - c u t - c = e - c s L x t

Então precisamos encontrar esse formato na segunda Laplace:

L t u t - 1 =

Se colocarmos 1 e tirarmos 1

L t - 1 + 1 u t - 1 =

L t - 1 u t - 1 + u t - 1

Então...

L x t = 2 L t u t - 2 L t - 1 u t - 1 + u t - 1 →

L x t = 2 L t u t - 2 L t - 1 u t - 1 - 2 L u t - 1 →

Então, aplicando a fórmula...

L x t = 2 L e 0 L t - 2 L e - s L t - 2 L e - s L 1 →

L x t = 2 1 s 2 - 2 e - s s 2 - 2 e - s s →

Colocando todo mundo com o mesmo denominador...

X s = 2 - 2 e - s - 2 s e - s s 2

Passo 5

Então, podemos concluir que a Laplace de funções periódicas como a f é...

G s = 1 1 - e - s X s =

2 - 2 e - s - 2 s e - s 1 - e - s s 2

Resposta

2 - 2 e - s - 2 s e - s 1 - e - s s 2

Ver Outros Exercícios desse livro