Enunciado

Determine v(t) para t > 0 no circuito da Figura 8.81.

Passo 1

Podemos transformar as fontes de corrente em fontes de tensão. Para t = 0-, o circuito equivalente é mostrado na figura abaixo.

Esse é fácil de resolver, né? Basta aplicar lei de Ohm para encontrar a corrente e divisor de tensão para encontrar v(0).

i 0   =   30 15   =     2   A

    v 0   =   5 ∙ 30 15     =     10   V

Passo 2

E quando t > 0, teremos o circuito RLC da figura a seguir:

Calma que esse é molezinha também. Primeiro, vamos calcular os valores de α, ω0 e S.

α     = R 2 L =   5 2 =   2,5

ω o =   1 L C = 1 4 = 0,5

Como α > ω0, o circuito é super-amortecido. Então, teremos dois valores de S distintos:

s = - α ± α 2 - ω o 2 = - 2,5 ± 6,25 - 0,25

s 1 = - 4,949 e s 2 = - 0,0505

Agora é só montar a equação com os valores obtidos:

v t =   V s   + A 1   e – 4.949 t   +   A 2 e – 0.0505 t

Onde: Vs = 20

Passo 3

Para finalizar precisamos encontrar os valores de A1 e A2. Podemos fazer isso igualando os valores de v(0-) e v(0+):

v 0 = v 0 - = v 0 +           →           10 = 20 + A 1 + A 2    

A 2 =   – 10   – A 1                                                                                                                               ( 1 )

Sabemos que:

i 0   =     C ∙ d v 0 d t

Ou

d v 0 d t =   – 2 4 =   – 1 2

Então:

– 0.5 =   – 4.949 A 1   – 0.0505 A 2                                                                                                       2

Passo 4

Agora é só correr para o abraço!

Substituindo (1) em (2), chegaremos ao seguinte resultado:

– 0.5   =   – 4.949 A 1 + 0.0505 ∙ ( 10   +   A 1 )

Ou

– 4.898 A 1 =   – 0.5 - 0.505 =   – 1.005

∴ A 1 =   0.2052 e A 2 =   – 10.205

Substituindo A1 e A2 em v(t) encontramos o resultado.

Resposta

v t =   20   + 0,2052   e – 4.949 t - 10,20 e – 0.0505 t   V

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