Por diferenciação explícita, verifique se as funções f 1 , f 2 e f 3 do texto satisfazem a equação da onda. Mostre que f 4 e f 5 não satisfazem.

Passo 1

Oi pessoal, esse é um probleminha para exercitar o cálculo.

Mas primeiro, vamos anotar aqui as funções as quais o enunciado se refere.

f 1 ( z ,   t ) =   A e - b ( z - v t ) 2

f 2 ( z ,   t ) =   A   s e n [ b ( z - v t ) ]

f 3 ( z ,   t ) =   A   b ( z - v t ) 2 + 1

f 4 ( z ,   t ) =   A e - b b z 2 + v t

f 5 ( z ,   t ) =   A   s e n ( b z )   c o s ( b v t ) 3

A equação de onda é descrita por:

∂ 2 f ∂ z 2 - 1 v 2 ∂ 2 f ∂ t 2 = 0

Se manipularmos um pouquinho essa equação, chegaremos a:

v 2   ∂ 2 f ∂ z 2 = ∂ 2 f ∂ t 2  

Então a condição que precisamos verificar, é a igualdade entre a derivada segunda temporal e o produto derivada segunda espacial e velocidade ao quadrado.

Passo 2

Então para cada uma das funções, vamos calcular suas derivadas segundas em relação ao tempo e ao espaço e observar se a igualdade se verifica.

∂ f 1 ∂ z =   -   2 A b ( z - v t )   e - b ( z - v t ) 2       → ∂ 2 f 1 ∂ z 2 =   -   2 A b e - b ( z - v t ) 2 - 2 b ( z - v t ) 2   e - b ( z - v t ) 2

∂ f 1 ∂ t =   2 A b v ( z - v t )   e - b ( z - v t ) 2 →   ∂ 2 f 1 ∂ t 2 =   2 A b v - v e - b ( z - v t ) 2 + 2 b v ( z - v t ) 2   e - b ( z - v t ) 2

Para a função f 1 a condição abaixo é verdadeira!

∂ 2 f 1 ∂ t 2 =   v 2   ∂ 2 f 1 ∂ z 2

Viu?! Não é tão difícil, mas devemos nos atentar as regras de derivação!

Vamos fazer com as demais funções:

∂ f 2 ∂ z = A b   c o s   b ( z - v t )     →     ∂ 2 f 2 ∂ z 2 = - A b 2   s i n   b ( z - v t )  

∂ f 2 ∂ t = - A b v   c o s   b ( z - v t )     →   ∂ 2 f 2 ∂ t 2 = - A b 2   v 2 s i n   b ( z - v t )

Para a função f 2 a condição abaixo é verdadeira!

∂ 2 f 2 ∂ t 2 =   v 2   ∂ 2 f 2 ∂ z 2

Agora vamos analisar a função f 3 :

∂ f 3 ∂ z =   - 2 A b ( z - v t ) b ( z - v t ) 2 + 1 2       → ∂ 2 f 3 ∂ z 2 =   - 2 A b b ( z - v t ) 2 + 1 2 + 8 A b 2 ( z - v t ) b ( z - v t ) 2 + 1 3

∂ f 3 ∂ z = 2 A b v ( z - v t ) b ( z - v t ) 2 + 1 2 →   ∂ 2 f 3 ∂ z 2 =   - 2 A b v 2 b ( z - v t ) 2 + 1 2 + 8 A b 2 v 2 ( z - v t ) b ( z - v t ) 2 + 1 3

Para a função f 3 a condição abaixo é verdadeira!

∂ 2 f 3 ∂ t 2 =   v 2   ∂ 2 f 3 ∂ z 2

Agora vamos analisar as funções f 4 e f 5 :

∂ f 4 ∂ z =   -   2 A b 2 z   e - b b z 2 + v t   →   ∂ 2 f 4 ∂ z 2 =   -   2 A b 2 e - b b z 2 + v t - 2 b 2 z 2   e - b b z 2 + v t

∂ f 4 ∂ t =   - A b v   e - b b z 2 + v t → ∂ 2 f 4 ∂ t 2 =   A b 2 v 2 e - b b z 2 + v t

Para a função f 4 temos a condição:

∂ 2 f 4 ∂ t 2 ≠   v 2   ∂ 2 f 4 ∂ z 2

Para f 5 temos:

∂ f 5 ∂ z =   A b   c o s ( b z )   c o s   ( b v t ) 3 →   ∂ 2 f 5 ∂ z 2 =   - A b 2   s i n ( b z )   c o s   ( b v t ) 3  

∂ f 5 ∂ t = - 3 A b 3   v 3   t 2   s i n ( b z )   s i n   ( b v t ) 3    

∂ 2 f 5 ∂ t 2 = - 6 A b 3   v 3   t   s i n ( b z )   s i n   ( b v t ) 3   -   9 A b 6   v 6   t 4   s i n ( b z )   c o s   ( b v t ) 3        

Para a função f 5 temos a condição:

∂ 2 f 5 ∂ t 2 ≠   v 2   ∂ 2 f 5 ∂ z 2

Resposta

Como observamos, as funções f 1 , f 2 e f 3 satisfazem a condição imposta pela equação de onda, mas, para as funções f 4 e f 5 , essa condição não pode ser verificada.