Para o dipolo do Exemplo 3.10, expanda 1 / r ± até a ordem d r 3 , e use isso para determinar os termos quadrupolar e octopolar do potencial.

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Para que a gente possa resolver essa questão, usaremos a Eq. 3.94 do nosso livro, com r ' = d 2 e α = 0 , uma vez que as cargas estão no eixo z. belezinha?

Com isso, a gente tem:

V = q 4 π ϵ 0 1 r + - 1 r -  

= q 4 π ϵ 0 ∑ n = 0 ∞ d 2 r n P n cos ⁡ θ - P n cos ⁡ θ + π

= q 4 π ϵ 0 ∑ n = 0 ∞ d 2 r n P n cos ⁡ θ - P n - cos ⁡ ( θ )

Sendo:

P - x = - 1 n P n x

Ficamos com:

= q 4 π ϵ 0 ∑ n = 0 ∞ d 2 r 2 P n cos ⁡ θ 1 - - 1 n

É claro que esta expressão é diferente de zero apenas para valores ímpares de n . Assim, os termos monopolo e quadrupolo serão zero, e o termo octopolo é dado por:

V o c t = 2 q 4 π ϵ 0 r d 2 r 3 P 3 cos ⁡ θ

= q 4 π ϵ 0 d 3 8 r 2 5 cos 3 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ

Tudo certinho? Te vejo na próxima!

Resposta

V q u a d = 0

V o c t = q 4 π ϵ 0 d 3 8 r 2 5 cos 3 ⁡ θ - 3 cos ⁡ θ