Um dipolo magnético m está embutido no centro de uma esfera (de raio 𝑅) de material magnético linear (com permeabilidade μ ). Mostre que o campo magnético dentro da esfera (0

μ 4 π 1 r 3 3 m ∙ r ^ r ^ - m + 2 ( μ 0 - μ ) m 2 μ 0 + μ R 3

Qual o campo fora da esfera?

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Partindo da equação 6.33 temos que há um dipolo ligado no centro, assim temos:

m b = χ m m

Com isso temos que o dipolo líquido no centro é dado por:

m c e n t r o = m + m b = 1 - χ m m

m c e n t r o = μ μ 0 m

Isso produz o campo dado pela equação 5.87:

B c e n t r o = μ 4 π 1 r 3 3 m ∙ r ^ r ^ - m

Como podemos ver, este é o primeiro termo do campo. O restante deve ser devido a corrente de superfície ligada K b em r=R. A corrente na superfície deve ser da forma B s c = A m . Neste caso a magnetização deve ser:

M = χ m H = χ m μ B

M = χ m 4 π 1 r 3 3 m ∙ r ^ r ^ - m + χ m μ A m

Isso vai produzir correntes ligadas J b = ∇ × M = 0 , como deveria, para o intervalo 0 < r < R . Com isso temos que:

K b = M R × r ^ = χ m 4 π R 3 - m × r ^ + χ m A μ m × r ^

K b = χ m m - 1 4 π R 3 + A μ s i n θ ϕ ^

Passo 2

Mas esta é exatamente a corrente produzida por uma esfera girando. Com isso temos que o campo produzido pode ser expresso como:

B s c = 2 3 μ 0 χ m m 1 μ - 1 4 π R 3

Até então tudo no caminho certo, agora desde que:

A = 2 3 μ 0 χ m A μ - 1 4 π R 3

Ou melhor:

A 1 - 2 μ 0 χ m 3 μ = - 2 3 μ 0 χ m 4 π R 3

Mas temos que:

χ m = μ μ 0 - 1

Com isso temos que:

A 1 - 2 μ 0 3 μ μ μ 0 - 1 = - 2 3 μ 0 4 π R 3 μ μ 0 - 1

A 1 + 2 μ 0 μ = 2 μ 0 - μ 4 π R 3

Por fim podemos expressar A como:

A = μ 4 π 2 μ 0 - μ R 3 2 μ 0 + μ

E, portanto, o campo pode ser expresso como:

B = μ 4 π 1 r 3 3 m ∙ r ^ r ^ - m + 2 ( μ 0 - μ ) m 2 μ 0 + μ R 3

Passo 3

E campo fora é o campo do dipolo central mais o da corrente de superfície.

m c s = 4 3 π R 3 3 2 μ 0 B s c

m c s = 2 π R 3 μ 0 μ 4 π 2 μ 0 - μ m R 3 2 μ 0 + μ

m c s = μ μ 0 - μ m μ 0 2 μ 0 + μ

E o momento de dipolo total é:

m t o t a l = μ μ 0 m + μ μ 0 m μ 0 - μ 2 μ 0 + μ = 3 μ m 2 μ 0 + μ

E por fim o campo fora é:

B = μ 0 4 π   3 μ 2 μ 0 + μ 1 r 3 [ 3 m ∙ r ^ r ^ - m ]  

Assim finalizamos mais uma!!!!!! Até a próxima !!!!!

Resposta

Dedução nos passos acima!