Se um dipolo magnético levitando acima de um plano supercondutor infinito (Problema 7.43) estiver livre para girar, que direção ele adotará e a que altura da superfície irá flutuar?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Como fizemos na seção anterior, substituímos o supercondutor por um dipolo de imagem como na figura, para satisfazer a condição de que o campo magnético seja paralelo à superfície do condutor. O torque no dipolo superior é:

N → = m 1 → × B 2 → = m 1 → × μ 0 4 π r 3 3 r ^ ∙ m 2 → r ^ - m 2 →

Desenvolvendo os termos

N → = m sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^ × μ 0 4 π r 3 3 y ^ ∙ m sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^ y ^ - m sen ⁡ θ x ^ - cos ⁡ θ y ^

Um pouco mais...

N → = m sen ⁡ θ x ^ + cos ⁡ θ y ^ × μ 0 m 4 π r 3 - 2 cos ⁡ θ y ^ - sen ⁡ θ x ^

Com isso, nós obtemos a seguinte configuração

N → = - μ 0 m 2 4 π r 3 cos ⁡ θ sen ⁡ θ z ^ = - μ 0 m 2 8 π r 3 sen ⁡ ( 2 θ ) z ^

Onde o termo r é a distância entre os dois dipolos. Agora, para o torque desaparecer, temos que configurar o sen ⁡ ( 2 θ ) = 0 , então:

θ = n π 2 ; n = 0,1 , 2,3 , …

Se n = 0 ou n = 2 , os dipolos são antiparalelos entre si (o norte aponta para o norte ou o sul para o sul), e estes irão se repelir, o que não é estável. Portanto, nós temos que θ = 3 π 2 ou θ = π 2 são as configurações estáveis, pois a repulsão dos pólos norte equilibrará a repulsão dos pólos sul.

Passo 2

Agora, para a segunda parte do problema. A força no dipolo superior nesta configuração estável é:

F → = ∇ m 1 → ∙ B 2 → = y ^ ∂ ∂ r m x ^ ∙ μ 0 m 4 π r 3 2 cos ⁡ π 2 y ^ + sin ⁡ π 2 - x ^  

Onde neste caso o vetor unitário r ^ coincide com y ^ e θ ^ com -x. Assim a força é:

F y ^ = - ∂ ∂ r μ 0 m 2 4 π r 3 y ^ = 3 μ 0 m 2 4 π r 4 y ^

Esta força é para cima e é equilibrada pela força gravitacional:

M g = 3 μ 0 m 2 4 π r 4

Isolando o r

r = 3 4 μ 0 m 2 π M g 1 / 4

Logo, como h = r 2 , nós temos que

h = r 2 = 1 2 3 4 μ 0 m 2 π M g 1 / 4

Onde o h é a distância para a superfície

Resposta

a) O dipolo é paralelo a superfície

b )   h =   1 2 3 4 μ 0 m 2 π M g 1 / 4