Um dipolo pontual está embutido no centro de uma esfera de material dielétrico linear (com raio e constante dielétrica ). Encontre o potencial elétrico dentro e fora da esfera.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
Nós temos as seguintes condições de fronteira:
A solução geral para a equação de Laplace em coordenadas esféricas com independência é:
E
Onde para para evitar que ele exploda no infinito, e da mesma forma para e . Ao campo interno foi adicionado o termo dipolo, dividido por já que o dielétrico diminui seu campo
Passo 2
Da condição (ii), nós temos que
Para
Para :
Logo,
Com estes potenciais são:
E
Passo 3
Da condição (i):
Agora juntando todos os termos com os coeficientes de um lado e todos os termos livres do outro:
A partir disso, fica claro que apenas o coeficiente A1 pode ser diferente de zero:
Assim, os potenciais externos serão respectivamente
Desenvolvendo um pouco mais, obtemos que
E os potenciais internos? Ficam da seguinte maneira
Estão finalmente totalmente determinados. Se olharmos mais de perto, veremos que o termo interno é a soma do campo dipolo (enfraquecido) mais um termo proporcional a . (então campo uniforme + campo de dipolo)