Um dipolo pontual p está embutido no centro de uma esfera de material dielétrico linear (com raio R e constante dielétrica ϵ r ). Encontre o potencial elétrico dentro e fora da esfera.

[ R e s p o s t a : p cos ⁡ θ 4 π ϵ r 2 1 + 2 r 3 R 3 ϵ r - 1 ϵ r + 2 ,   r ≤ R ;

p cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 r 2 3 ϵ r + 2 ,   ( r ≥ R ) ] .

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Nós temos as seguintes condições de fronteira:

ϵ 2 ∂ V 2 ∂ r r = R - ϵ 1 ∂ V 1 ∂ r r = R = - σ f

∂ V 2 ∂ r r = R = ϵ r ∂ V 1 ∂ r r = R ( i )

V 2 r = R = V 1 r = R   ( i i )

A solução geral para a equação de Laplace em coordenadas esféricas com independência ϕ é:

V r , θ = ∑ n = 1 ∞ B n r n + 1 P n cos ⁡ θ

E

V 1 r , θ = ∑ n = 1 ∞ A n r n P n cos ⁡ θ + p cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 ϵ r r 2

Onde A n = 0 para V 2 para evitar que ele exploda no infinito, e da mesma forma para V 1 e B n . Ao campo interno foi adicionado o termo dipolo, dividido por ϵ r já que o dielétrico diminui seu campo

Passo 2

Da condição (ii), nós temos que

∑ n = 1 ∞ B n R n + 1 P n ( cos ⁡ θ ) = ∑ n = 1 ∞ A n R n P n cos ⁡ θ + p cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 ϵ r R 2

Para n = 1

B 1 1 R 2 = p 4 π ϵ 0 ϵ r R 2 + A 1 R = p 4 π ϵ 0 ϵ r + A 1 R 3

Para n ≠ 1 :

B n R n + 1 = A n R n

Logo,

B n = A n R 2 n + 1

Com estes potenciais são:

V 2 r , θ = ∑ n = 0,2 , … ∞ A n R 2 n + 1 r n + 1 P n cos ⁡ θ + p 4 π ϵ 0 ϵ r + A 1 R 3 1 r 2 cos ⁡ θ

E

V 1 r , θ = ∑ n = 0,2 , … ∞ A n r n P n cos ⁡ θ + p 4 π ϵ 0 ϵ r r 2 + A 1 r cos ⁡ θ

Passo 3

Da condição (i):

- ∑ n = 0,2 , … ∞ n + 1 A n R 2 n + 1 R n + 2 P n cos ⁡ θ - 2 p 4 π ϵ 0 ϵ r + A 1 R 3 1 R 3 cos ⁡ θ

= ϵ r ∑ n = 0,2 , … ∞ A n n R n - 1 P n ( cos ⁡ θ ) - 2 p cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 ϵ r R 3 + ϵ r A 1 cos ⁡ θ

Agora juntando todos os termos com os coeficientes A n de um lado e todos os termos livres do outro:

p cos ⁡ θ 2 π ϵ 0 R 3 1 - 1 ϵ r cos ⁡ θ = A 1 2 + ϵ r cos ⁡ θ + ∑ n = 0,2 , … ∞ A n ϵ r n R n - 1 + n + 1 R n - 1 P n cos ⁡ θ  

A partir disso, fica claro que apenas o coeficiente A1 pode ser diferente de zero:

A 1 2 + ϵ r = p 2 π ϵ 0 ϵ r R 3 ϵ r - 1 ϵ r + 2

Assim, os potenciais externos serão respectivamente

V 2 r , θ = B 1 r 2 cos ⁡ θ = p 4 π ϵ 0 ϵ r + A 1 R 3 1 r 2 cos ⁡ θ

Desenvolvendo um pouco mais, obtemos que

V 2 r , θ = p cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 ϵ r r 2 1 + 2 ϵ r - 1 ϵ r + 2 = p 4 π ϵ 0 r 2 3 ϵ r + 2

E os potenciais internos? Ficam da seguinte maneira

V 1 r , θ = p 4 π ϵ 0 ϵ r r 2 + A 1 r cos ⁡ θ = p cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 ϵ r r 2 1 + 2 r 3 R 3 ϵ r - 1 ϵ r + 2

Estão finalmente totalmente determinados. Se olharmos mais de perto, veremos que o termo interno é a soma do campo dipolo (enfraquecido) mais um termo proporcional a r cos ⁡ θ = z . (então campo uniforme + campo de dipolo)

Resposta

V i n = p cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 ϵ r r 2 1 + 2 r 3 R 3 ϵ r - 1 ϵ r + 2

V o u t = p 4 π ϵ 0 r 2 3 ϵ r + 2