Dois fios longos e retos com densidades lineares uniformes e opostas ±   λ estão situados em cada um dos lados de um longo cilindro condutor (Figura 3.39). O cilindro (que não tem carga líquida) tem raio R , e os fios estão a uma distância a do eixo. Encontre o potencial no ponto r .

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Essa questão é um pouquinho trabalhosa, mas vem comigo pra gente fazer passo a passo!

De acordo com a Figura 3.39, temos:

Fazendo:

Pela a imagem acima, colocando as cargas nas linhas da imagem ±   λ em x ± b , b < R . O potencial de uma carga de linha é:

V r → = - λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ s + C

Onde s é a distância da linha. Somando agora os potenciais de todos os fios, temos:

V t o t a l = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ s 3 s 2 s 1 s 4 = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ s 3 2 s 2 2 s 1 2 s 4 2

s 1 2 = y - a 2 + z 2 = s 2 + a 2 - 2 a s cos ⁡ Φ

s 2 2 = y - b 2 + z 2 = s 2 + b 2 - 2 b s cos ⁡ Φ

s 3 2 = y + a 2 + z 2 = s 2 + a 2 + 2 a s cos ⁡ Φ

s 4 2 = y + b 2 + z 2 = s 2 + b 2 + 2 b s cos ⁡ Φ

Assim:

V s , Φ = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ ( s 2 + a 2 + 2 a s cos ⁡ Φ ) ( s 2 + b 2 - 2 b s cos ⁡ Φ ) ( s 2 + a 2 - 2 a s cos ⁡ Φ ) ( s 2 + b 2 + 2 b s cos ⁡ Φ )

Tudo certinho? Vamos pro próximo passo!

Passo 2

Agora a gente precisa que a expressão anterior sob o logaritmo seja constante para s = R , assim:

V s , Φ = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ ( s 2 + a 2 + 2 a s cos ⁡ Φ ) ( s 2 + b 2 - 2 b s cos ⁡ Φ ) ( s 2 + a 2 - 2 a s cos ⁡ Φ ) ( s 2 + b 2 + 2 b s cos ⁡ Φ ) = C

Isso será constante para todo Φ se colocarmos b = R 2 / a , desde então:

( R 2 + a 2 + 2 a R cos ⁡ Φ ) ( R 2 + b 2 - 2 b R cos ⁡ Φ ) ( R 2 + a 2 - 2 a R cos ⁡ Φ ) ( R 2 + b 2 + 2 b R cos ⁡ Φ )

( R 2 + a 2 + 2 a R cos ⁡ Φ ) ( R 2 + R 4 / a 2 - 2 R 3 cos ⁡ Φ / a ) ( R 2 + a 2 - 2 a R cos ⁡ Φ ) ( R 2 + R 4 / a 2 + 2 R 3 cos ⁡ Φ / a )

( R 2 + a 2 + 2 a R cos ⁡ Φ ) ( R 2 + a 2 - 2 a R cos ⁡ Φ ) ( R 2 + a 2 - 2 a R cos ⁡ Φ ) ( R 2 + a 2 + 2 a R cos ⁡ Φ ) = 1

Depois de multiplicar o numerador e o denominador por a 2 / R 2 . Se colocarmos as cargas de linha da imagem em y = ± R 2 a a superfície será equipotencial e não importará o valor de Φ .

Dessa forma, o potencial total é apenas 1 com b = R 2 / a :

V s , Φ = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ ( s 2 + a 2 + 2 a s cos ⁡ Φ ) ( s 2 + R 2 a 2 - 2 R 2 s a cos ⁡ Φ ) ( s 2 + a 2 - 2 a s cos ⁡ Φ ) ( s 2 + R 2 a 2 + R 2 s a cos ⁡ Φ )

= λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ ( s 2 + a 2 + 2 a s cos ⁡ Φ ) ( a s R 2 + R 2 - 2 s a cos ⁡ Φ ) ( s 2 + a 2 - 2 a s cos ⁡ Φ ) ( a s R 2 + R 2 + 2 s a cos ⁡ Φ )

E com isso a gente conclui nossa questãozinha, te vejo na próxima!

Resposta

V s , Φ = λ 4 π ϵ 0 ln ⁡ ( s 2 + a 2 + 2 a s cos ⁡ Φ ) ( a s R 2 + R 2 - 2 s a cos ⁡ Φ ) ( s 2 + a 2 - 2 a s cos ⁡ Φ ) ( a s R 2 + R 2 + 2 s a cos ⁡ Φ )