1. Dois objetos de metal são embutidos em material fracamente condutor, cuja condutividade é σ (Figura 7.6). Mostre que a resistência entre eles está relacionada à capacidade do arranjo por
  2. R = ϵ 0 σ C   .

  3. Suponha que você conectou uma bateria 1 e 2 e carregou ambos a uma diferença de potencial 𝑉0. Se você, agora, desconectar a bateria, a carga irá gradualmente escoar. Mostre que V ( t ) = V 0 e - t / τ , encontre a constante de tempo,𝜏 , em termos de ϵ 0   e   σ .

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma !?

Na letra A, podemos iniciar com:

I = ∫ J ∙ d a

Onde o a é a superfície sobre o condutor carregado positivamente. Mas temos que:

J = σ E .  

Com a lei de Gauss temos que:

∫ E ∙ d a = 1 ϵ 0 Q

Mais algumas relações sobre o capacitor que podemos utilizar são Q=CV e V=IR. Assim temos que:

I = ∫ J ∙ d a = ∫ σ E ∙ d a = ∫ σ E ∙ d a = σ ϵ 0 Q = σ ϵ 0 C V = σ ϵ 0 C I R

E isolando R, temos que:

R = ϵ 0 σ C

Sendo assim, chegamos na expressão que estávamos buscando.

Passo 2

Na letra B, temos inicialmente algumas relações explicitadas na letra A, ou seja:

Q = C V = C I R

Primeiramente vamos encontrar Q(t).

d Q d t = - I = - 1 R C Q

d Q Q = - 1 R C d t

Q t = Q 0 e - t R C

Só que como sabemos que Q=CV, podemos reescrever a equação acima, para encontrar V. Temos então:

V = Q C = Q 0 e - t R C C = V 0 e - t R C

Que é exatamente a relação que estávamos buscando. A constante do tempo τ = R C = ϵ 0 / σ

Sendo assim, finalizamos mais uma! Até a próxima!

Resposta

Deduções nos passos acima!!