Dois planos condutores aterrados e semi-infinitos encontram-se em ângulos retos. Na região entre eles há uma carga pontual q , situada como mostra a Figura 3.15. Monte a configuração de imagem e calcule o potencial nessa região. De que cargas você precisa e onde elas devem estar localizadas? Qual é a força sobre q ? Quanto trabalho foi necessário para trazer q do infinito? Suponha que os planos se encontraram em um ângulo diferente de 90 o ; você ainda seria capaz de resolver o problema pelo método das imagens? Se não, para que ângulos em particular o método funciona?

Passo 1

Faaala, galera! Bora resolver essa questãozinha? Primeiro vamos montar a nossa configuração de cargas para essa região de acordo com o método da imagem,que será:

Galera, para essa configuração, o potencial será dado por:

V x , y =   q 4 π ϵ 0 1 x - a 2 + y - b 2 + z 2 + 1 x + a 2 + y + b 2 + z 2 - 1 x + a 2 + y - b 2 + z 2 - 1 x - a 2 + y + b 2 + z 2

A cargas que precisamos (pra utilizar o método das imagens), são as cargas espelhadas em relação ao eixo x (e de sinal oposto para seguir as regras do método) apresentadas no gráfico anterior (as cargas - q )

Passo 2

A força sobre q é dada pela seguinte expressão:

F =   1 4 π ϵ 0 q 2 2 d 2

Em que d é a distância entre as cargas que serão as seguintes distâncias representadas no gráfico abaixo:

Logo, para o nosso caso (a configuração feita no gráfico):

  F → =   q 2 4 π ϵ 0 [ 1 2 a 2   x ^   1 2 b 2 y ^ + c o s x ^ + s e n y ^ 2 a 2 + b 2 2  

Desse resultado, vamos ter que:

c o s θ = a a 2 + b 2                           s e n θ = b a 2 + b 2

Portanto, a expressão da força, será:

  F → = q 2 4 π ϵ 0   - 1 2 a 2 + a 2 a 2 + b 2 2 ( a 2 + b 2 ) x ^ +   q 2 4 π ϵ 0 - 1 2 b 2 + b 2 a 2 + b 2 2 a 2 + b 2 y ^

A energia será dada, pela seguinte expressão:

W =   1 4 π ϵ 0 q 2 2 d    

Portanto, aplicando os valores de distância encontrados anteriormente para as cargas:

W =   q 2 8 π ϵ 0 - 1 2 a - 1 2 b + 1 2 a 2 + b 2

Passo 3

Galera, para que o método funcione o ângulo entre os planos, teria que ser um divisor inteiro de 180 o (como 180 o ,   90 o ,   60 o ,   45 o ), pois para outros ângulos arbitrários, teríamos que colocar as cargas de imagem dentro da região de interesse ou que modificaria o problema, ou seja não conseguiríamos fazer o posicionamento correto das cargas imagens

Resposta

V x , y =   q 4 π ϵ 0 1 x - a 2 + y - b 2 + z 2 + 1 x + a 2 + y + b 2 + z 2 - 1 x + a 2 + y - b 2 + z 2 - 1 x - a 2 + y + b 2 + z 2

  F → = q 2 4 π ϵ 0   - 1 2 a 2 + a 2 a 2 + b 2 2 ( a 2 + b 2 ) x ^ +   q 2 4 π ϵ 0 - 1 2 b 2 + b 2 a 2 + b 2 2 a 2 + b 2 y ^

W =   q 2 8 π ϵ 0 - 1 2 a - 1 2 b + 1 2 a 2 + b 2