Dois planos condutores infinitos paralelos e aterrados são mantidos separados por uma distância a . Uma carga pontual q é colocada na região entre eles, a uma distância x de uma das placas. Encontre a força sobre q . Verifique se sua resposta está correta para os casos especiais a → ∞   e x = a / 2 .

Passo 1

Falaa galera, bora iniciar mais uma questãozinha do nosso livro!

Essa questão é um pouquinho trabalhosa, mas vem comigo pra gente fazer passo a passo!

Primeiramente iremos colocar a origem no local da carga e, em seguida, examinando as primeiras cargas vemos que as cargas positivas estão situadas em:

± 2 a ,   ± 4 ,   …

(da carga) e, portanto, suas contribuições para a força são zero. Já as cargas negativas estão em:

2 x ,   2 a - x ,   2 a + x ,   2 2 a - x ,   2 2 a + x ,   2 3 a - x ,   …

Em seguida a gente vai somar as forças das cargas negativas. Seja a direção da força positiva, digamos, à esquerda:

F = - q 2 4 π ε 0 1 ( 2 x ) 2 - 1 ( 2 ( a - x ) ) 2 + 1 ( 2 ( a + x ) ) 2 - 1 ( 2 ( 2 a - x ) ) 2 + 1 ( 2 ( 2 a + x ) ) 2 - 1 ( 2 ( 3 a - x ) ) 2 + …  

= - q 2 16 π ε 0 1 x 2 + 1 a + x 2 + 1 2 a + x 2 + … - 1 a - x 2 + 1 2 a - x 2 + 1 3 a - x 2 …

F = - q 2 16 π ε 0 ∑ n = 0 ∞ 1 n a + x 2 - ∑ n = 0 ∞ 1 n a - x 2

F = - q 2 16 π ε 0 1 x 2 - 4 a x ∑ n = 0 ∞ n n 2 a 2 - x 2 2

Tudo certinho? Vamos pro próximo passo!

Passo 2

Agora a gente tem que se a   → ∞ então o termo somatório tende a zero e com isso ficamos com:

F = q 2 4 π ε 0 1 2 x 2

Que é a mesma força no caso de um único plano. Mas se x → a 2 então teremos:

F = q 2 16 π ε 0 4 a 2 - 2 a 2 ∑ n = 0 ∞ n n 2 - 1 / 4 2

Então concluímos que se:

a   → ∞   :   F = q 2 4 π ε 0 1 2 x 2

E se

x   → a 2   : F = 0

E com isso a gente conclui nossa questãozinha, te vejo na próxima!

Resposta

F = - q 2 16 π ε 0 1 x 2 - 4 a x ∑ n = 0 ∞ n n 2 a 2 - x 2 2

s e   a   → ∞   :   F = q 2 4 π ε 0 1 2 x 2

s e   x   → a 2   : F = 0