Dois tubos longos de metal, cilíndricos e coaxiais (raio interno a, raio externo b) estão colocados verticalmente em um tanque de óleo (suscetibilidade χ e , densidade de massa ρ ). O tubo interno é mantido a um potencial V , enquanto o externo está aterrado (Figura 4.32). A que altura ( h ) o óleo sobe no espaço entre os tubos?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Vamos lá, para fazer uso da equação 4.67 F = 1 2 V 2 d C d x , nós precisamos encontrar a capacitância como uma função da altura h , ok? Vamos chamar nesse caso de C ( h ) . Considerando a altura total do cilindro como L , deixando as cargas das linhas como λ para o ar e λ ' para o caso do óleo. Os campos elétricos que serão associados a essas diferenças de potencial são respectivamente,

E a r = λ 2 π ϵ 0 s s ^

Com isso, nós teremos que a ddp é

Δ V = λ 2 π ϵ 0 ln ⁡ b a

Para o caso do óleo,

E ó l e o = λ ' 2 π ϵ s s ^

Com isso, a ddp é igual a

Δ V = λ ' 2 π ϵ ln ⁡ b a

As diferenças de potencial ( d d p ) tem que ser as mesmas para o ar e para óleo, então

λ ' ϵ = λ ϵ 0

Com isso, a carga total do cilindro é igual a

Q t o t a l = λ ' h + λ L - h

Desenvolvendo um pouco mais os termos, nós temos que

Q t o t a l = ϵ r λ h + λ L - h

Em termos de susceptibilidade, podemos escrever essa equação da seguinte forma

Q t o t a l = λ L + h χ e

Passo 2

Tendo tudo isso em mente, podemos encontrar a capacitância, dada a seguinte fórmula

C = Q V

Nós temos o Q e o V (de forma indireta), então tendo em mente a substituição

C = 2 π ϵ 0 L + h χ e ln ⁡ b a

Percebeu que agora nós já podemos encontrar a equação 4.67, então utilizando a mesma

F = 1 2 V 2 d C d x = 1 2 V 2 2 π ϵ 0 χ e ln ⁡ b a

Finalmente, do equilíbrio desta força (para cima) e da força gravitacional (para baixo), obtemos a altura do fluido

m g = g h ρ π b 2 - a 2 = 1 2 V 2 2 π ϵ 0 χ e ln ⁡ b a

Isolando o h , logo

h = V 2 ϵ 0 χ e g ρ b 2 - a 2 ln ⁡ b a

E encontramos a altura! 😊

Resposta

h = V 2 ϵ 0 χ e g ρ b 2 - a 2 ln ⁡ b a