Duas cargas pontuais, 3 q e - q estão separadas por uma distância a . Para cada um dos arranjos da Figura 3.35, encontre (i) o momento de monopolo, (ii) o momento de dipolo e (iii) o potencial aproximado (em coordenadas esféricas) em r grande (inclua tanto a contribuição monopolar quanto a dipolar).

Passo 1

E aí, galera! Qual é a boa?

Bom, aqui nessa questão temos que calcular o momento de monopolo:

V m o n = 1 4 π ϵ 0 Q r

o momento de dipolo:

V d i p = 1 4 π ϵ 0 r ^ r 2 ⋅ ∫ r → ' ρ ( r ' ) d τ '

e somar as duas contribuições para obter o potencial. Como temos cargas pontuais, a integral ∫ r → ' ρ ( r ' ) d τ ' na verdade é um somatório

∫ r → ' ρ ( r ' ) d τ ' → ∑ i r → i ' q i

Além disso, vamos usar r ^ = ( s e n θ c o s ϕ , s e n θ s e n   ϕ , c o s θ ) .

Prontos? Então, vamos nessa!

Passo 2

(a)Nessa primeira configuração, temos - q localizada na origem r → 1 = ( 0,0 , 0 ) e 3 q localizada em r → 2 = ( 0,0 , a ) . A carga total do sistema é Q = 3 q - q = 2 q . Assim, o momento de monopolo fica dado por

V m o n = 1 4 π ϵ 0 Q r = 1 4 π ϵ 0 2 q r

Temos o momento de dipolo dado por

p → = ∑ i r → i ' q i = ( 0,0 , 0 ) ( - q ) + ( 0,0 , a ) ( 3 q ) = 3 q a z ^

Logo,

V d i p = 1 4 π ϵ 0 r ^ r 2 ⋅ ∑ i r ' → i q i

V d i p = 1 4 π ϵ 0 1 r 2 ( s e n θ c o s ϕ , s e n θ s e n   ϕ , c o s θ ) ⋅ [ ( 0,0 , 0 ) ( - q ) + ( 0,0 , a ) ( 3 q ) ]

V d i p = 1 4 π ϵ 0 3 q a c o s θ r 2

Somando as duas contribuições, a gente consegue obter uma aproximação para o potencial

V ≃ 1 4 π ϵ 0 2 q r + 1 4 π ϵ 0 3 q a c o s θ r 2 = 1 4 π ϵ 0 2 q r + 3 q a c o s θ r 2

Passo 3

(b)Agora, vamos seguir mais ou menos a mesma receita. Nessa configuração, temos - q em r → 1 = ( 0,0 , - a ) e 3 q em r → 2 = ( 0,0 , 0 ) . A carga total continua a mesma. Então, temos

V m o n = 1 4 π ϵ 0 Q r = 1 4 π ϵ 0 2 q r

Agora, o momento de dipolo é

p → = ∑ i r → i ' q i = ( 0,0 , - a ) ( - q ) + ( 0,0 , 0 ) ( 3 q ) = q a z ^

Então,

V d i p = 1 4 π ϵ 0 1 r 2 ( s e n θ c o s ϕ , s e n θ s e n   ϕ , c o s θ ) ⋅ [ ( 0,0 , - a ) ( - q ) + ( 0,0 , 0 ) ( 3 q ) ]

V d i p = 1 4 π ϵ 0 q a c o s θ r 2

Somando tudo, ficamos com

V ≃ 1 4 π ϵ 0 2 q r + 1 4 π ϵ 0 q a c o s θ r 2 = 1 4 π ϵ 0 2 q r + q a c o s θ r 2

Passo 4

(c)Para fechar a questão, temos agora - q em r → 1 = ( 0,0 , 0 ) e 3 q em r → 2 = ( 0 , a , 0 ) . A carga total continua a mesma. O momento de dipolo é

p → = ∑ i r → i ' q i = ( 0,0 , 0 ) ( - q ) + ( 0 , a , 0 ) ( 3 q ) = 3 q a y ^

Então,

V d i p = 1 4 π ϵ 0 1 r 2 ( s e n θ c o s ϕ , s e n θ s e n   ϕ , c o s θ ) ⋅ [ ( 0,0 , 0 ) ( - q ) + ( 0 , a , 0 ) ( 3 q ) ]

V d i p = 1 4 π ϵ 0 3 q a s e n θ s e n   ϕ r 2

Somando tudo, ficamos com

V ≃ 1 4 π ϵ 0 2 q r + 1 4 π ϵ 0 3 q a s e n θ s e n   ϕ r 2 = 1 4 π ϵ 0 2 q r + 3 q a s e n θ s e n   ϕ r 2

Resposta

(a) Q = 2 q

p → = 3 q a z ^

V ≃ 1 4 π ϵ 0 2 q r + 3 q a c o s θ r 2

(b) Q = 2 q

p → = q a z ^

V ≃ 1 4 π ϵ 0 2 q r + q a c o s θ r 2

(c) Q = 2 q

p → = 3 q a y ^

V ≃ 1 4 π ϵ 0 2 q r + 3 q a s e n θ s e n   ϕ r 2