Duas cascas de metal, esféricas e concêntricas, de raios a   e   b , respectivamente, são separadas por material mal condutor, de condutividade 𝜎 (Figura 7.4a).

  1. Se elas forem mantidas a uma diferença de potencial   V , que corrente passará de uma para outra?
  2. Qual é a resistência entre as cascas?
  3. Observe que se b ≫ a o raio externo ( b   ) é irrelevante. Como você explica isso? Explore esta observação para determinar a corrente que passa entre duas esferas de metal, ambas de raio a   , mergulhadas no fundo do mar e mantidas a uma grande distância uma da outra (Figura 7.4b), se a diferença de potencial entre elas é 𝑉 . (Esse arranjo pode ser usado para medir a condutividade da água do mar.)

Passo 1

Olá pessoal, bora para mais uma!?

Primeiramente vamos considerar que a carga no interior das cascas seja Q . Com isso podemos expressar o campo elétrico no interior sendo que:

E = 1 4 π ϵ 0   Q r 2 r ^

Na letra A propõe manter uma diferença de potencial, sendo assim temos que:

V = V a - V b = - ∫ b a E ∙ d r = - 1 4 π ϵ 0   Q ∫ b a 1 r 2 d r = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Agora que temos a expressão calculada acima para a diferença de potencial, é possível encontrar a corrente que passará de uma para outra, assim, temos que:

I = ∫ J ∙ d a

Porém sabemos que a condutividade é dada por σ . Assim temos que:

I = σ ∫ E ∙ d a = σ Q ϵ 0

Agora basta isolar a expressão do ‘Q’ para a variação de potencial e substituir na equação acima. Assim:

V a - V b = Q 4 π ϵ 0 1 a - 1 b

Q 4 π ϵ 0 = V a - V b 1 a - 1 b

Q = 4 π ϵ 0 V a - V b 1 a - 1 b

Agora substituindo na expressão da corrente, temos que:

I = σ 4 π V a - V b 1 a - 1 b

Passo 2

Na letra B queremos encontrar a resistência entre as cascas, ou seja, calcular R=V/I, sendo que V é a diferença de potencial e I a corrente, com isso:

R = V I = V a - V b I = V a - V b σ 4 π V a - V b 1 a - 1 b = 1 a - 1 b 4 π σ

Sendo assim:

R = 1 4 π σ   1 a - 1 b

Passo 3

Na letra C vamos analisar o caso de quando b >> a, com isso a expressão para R ficaria:

R = 1 4 π σ 1 a

Isso se dá pelo fato do termo 1/b ser basicamente nulo. Com isso temos que toda a Resistência elétrica fica nas proximidades da esfera menor, e a medida que você se afasta da esfera menor a resistência ficará cada vez menor.

Sendo assim, para duas esferas iguais de raio a, temos que a Resistência pode ser dada como:

R c = 2 * R = 1 2 π σ 1 a

E com isso podemos obter a expressão da corrente que passa de uma para outra, sendo:

I c = V R c = V 1 2 π σ = 2 π σ V

Com isso finalizamos mais uma questão, te espero na próxima!?

Resposta

  1. I = σ 4 π V a - V b 1 a - 1 b
  2. R = 1 4 π σ   1 a - 1 b
  3. I C = 2 π σ V