Enunciado

Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entender melhor como determinar a tensão e a corrente R M S em um elemento de circuito dadas as séries de Fourier da corrente e da tensão. Além disso, o problema também deve calcular a potência média fornecida ao elemento e o espectro de potência.

Passo 1

PROBLEMA: Para um circuito de painel de navio a tensão e a corrente vistos dos terminais de um gerador a óleo são dados:

v t = 30 cos ⁡ t + 35 ° + 10 cos ⁡ 2 t - 55 ° + 4 cos ⁡ 3 t - 10 °     V

i t = 2 cos ⁡ t - 10 ° + cos ⁡ 2 t - 10 ° A

  1. Calcule a tensão r m s que sai do gerador.
  2. Calcule a potência média fornecida ao circuito e desenhe o espectro de potência.

Passo 2

Poxa, a tensão R M S é dada pela fórmula:

v r m s = 1 L ∫ - L L v 2 x d x =

Reconhece esse cara aí dentro da integral? Ele é o da Identidade de Parceval! Então devido a isso, podemos fazer essa substituição maravilhosa aqui:

v r m s = a 0 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ a n 2 + b n 2 =

Ora, no nosso caso, o nosso v está representado apenas em cossenos...

v t = 30 cos ⁡ t + 35 ° + 10 cos ⁡ 2 t - 55 ° + 4 cos ⁡ 3 t - 10 °     V

Então b n = 0 (parte que representa o seno ):

v r m s = a 0 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ a n 2

a 0 representa a componente D C ...

a 0 = 0

Enquanto que a 1 , a 2 e a 3 representa os coeficientes na frente do cosseno:

a 1 = 30 ,               a 2 = 10                   e               a 3 = 4

Logo...

v r m s = 0 2 + 1 2 30 2 + 10 2 + 4 2 =

22,53   V

Passo 3

Aqui é um pouquinho diferente, lembre-se que potência sempre pode ser calculada usando Fourier dessa forma aqui:

P = V d c I d c + 1 2 ∑ n = 1 k V n I n cos ⁡ Θ n - Φ n

Onde no nosso caso...

v t = 30 cos ⁡ t + 35 ° + 10 cos ⁡ 2 t - 55 ° + 4 cos ⁡ 3 t - 10 °     V

i t = 2 cos ⁡ t - 10 ° + cos ⁡ 2 t - 10 ° A

Temos que V d c e I d c as componentes de corrente contínua (os números soltos que não tem nesse problema)...

V d c = 0         e         I d c = 0

Já o somatório, depende das quantidades de frequências que se tem no problema no nosso caso, são cossenos das componentes de ω = 1 , ω = 2 e outro ω = 3 :

v t = 30 cos ⁡ 1 t + 35 ° + 10 cos ⁡ 2 t - 55 ° + 4 cos ⁡ 3 t - 10 °     V

i t = 2 cos ⁡ 1 t - 10 ° + cos ⁡ 2 t - 10 ° A

Então, como se tem três frequências diferentes, o nosso k = 3 e a gente precisa determinar agora quem são V e I para cada uma das componentes de frequências:

ω = 1     →                         V 1 = 3 0     e       Θ 1 = 3 5 ° I 1 = 2         e       Φ 1 = - 10 °

Para ω = 2 ...

ω = 2     →                         V 2 = 10     e       Θ 1 = - 5 5 ° I 2 = 1         e       Φ 1 = - 1 0 °

Já para ω = 3 não temos a componente de corrente, então...

ω = 3     →                         V 2 = 4   e       Θ 1 = - 10 ° I 2 = 0  

Assim, podemos desmembrar o somatório dessa forma aqui:

P = V d c I d c + 1 2 ∑ n = 1 k V n I n cos ⁡ Θ n - Φ n   →

P = V d c I d c + 1 2 V 1 I 1 cos ⁡ Θ 1 - Φ 1 + V 2 I 2 cos ⁡ Θ 2 - Φ 2 + V 3 I 3 cos ⁡ Θ 3 - Φ 3     →

Substituindo...

P = 0 ⋅ 0 + 1 2 3 0 ⋅ 2 ⋅ cos ⁡ 3 5 ° + 10 ° + 10 ⋅ 1 cos ⁡ - 55 ° + 1 0 ° + 0     →

P = 1 2 60 cos ⁡ 45 ° + 10 cos ⁡ - 45 °     →

P = 1 2 42,42 + 7,07 =

24,74 W

Pra desenhar o espectro de potência, repare que a parcela de energia correspondente ao ω = 1 é 42,42 e a parcela correspondente de ω = 2 é 7,07 , então...

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro