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Elabore um problema para ajudar outros estudantes a entenderem melhor como determinar as saídas quando é dada a função de transferência e a entrada.

Passo 1

Vamos fazer um exemplo numérico:

H ( s ) = s + 3 s 2 + 4 s + 5

Encontre a saída, quando:

  1. a entrada é uma função degrau
  2. a entrada é 6 t e - 2 t u ( t )

Passo 2

Então, a função de transferência é:

Y ( s ) = H ( s ) X ( s )

Y ( s ) = s + 3 s 2 + 4 s + 5 × 1 s

Separando em frações parciais teremos:

Y ( s ) = s + 3 s ( s 2 + 4 s + 5 ) = A s + B s + C s 2 + 4 s + 5

Agora basta encontrar A ,   B   e   C e encontrar Y ( s ) .

Passo 3

A = 3 5

C = 1 - 4 A   =   - 7 5

B =   - A =   - 3 5

Daí, substituindo, teremos:

Y ( s ) = 0.6 s - 1 5 × 3 ( s + 2 ) + 1 ( s + 2 ) 2 + 1

Por Laplace utilizando a tabela de transformadas, teremos:

y ( t ) = [ 0.6 - 0.6 e - 3 t c o s ( t ) - 0.2 e - 2 t s i n ( t ) ] u ( t )

Passo 4

Para a letra b é a mesma coisa que na letra A, porém agora a nossa entrada é 6 t e - 2 t u ( t ) e não mais um degrau!

Então, a função de transferência é:

Y ( s ) = H ( s ) X ( s )

x ( t ) = 6 t e - 2 t u ( t ) → X ( s ) = 6 ( s + 2 ) 2

Separando em frações parciais teremos:

Y ( s ) = 6 ( s + 3 ) ( s + 2 ) 2 ( s 2 + 4 s + 5 ) = A s + 2 + B ( s + 2 ) 2 + C s + D s 2 + 4 s + 5

Agora basta encontrar A ,   B   e   C e encontrar Y ( s ) .

A = 6

B = 6

C =   - 6

D =   - 18

Daí, substituindo, teremos:

Y ( s ) = 6 ( s + 3 ) ( s + 2 ) 2 ( s 2 + 4 s + 5 ) = 6 s + 2 + 6 ( s + 2 ) 2 + 6 s + 18 s 2 + 4 s + 5

Por Laplace utilizando a tabela de transformadas, teremos:

y ( t ) = [ 6 e - 2 t + 6 t e - 2 t - 6 e - 2 t c o s ( t ) - 6 e - 2 t s i n ( t ) ] u ( t )

Resposta

  1. y ( t ) = [ 0.6 - 0.6 e - 3 t c o s ( t ) - 0.2 e - 2 t s i n ( t ) ] u ( t )
  2. y ( t ) = [ 6 e - 2 t + 6 t e - 2 t - 6 e - 2 t c o s ( t ) - 6 e - 2 t s i n ( t ) ] u ( t )

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