Elétrons submetidos a um movimento ciclotrônico podem ser acelerados aumentando-se o campo magnético; o campo elétrico concomitante transmitirá aceleração tangencial. Esse é o princípio de bétraton. Deseja-se manter o raio da órbita constante durante o processo. Mostre que isso pode ser feito projetando-se um magneto tal que o campo médio sobre a área da órbita seja o dobro do campo na circunferência (Figura 7.52). Assuma que os elétrons partem do repouso em campo zero e que o aparato é simétrico em torno do centro da órbita. )Assuma também que a velocidade dos elétrons se mantém bem abaixo da velocidade da luz de forma que a mecânica não-relativística se aplica.)[Dica: diferencie a equação 5.3 com relação ao tempo e use F = m a = q E .]

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem?

Vamos seguir a recomendação do enunciado e derivar a equação 5.3, q B R = m v , em relação ao tempo t :

q R d B d t = m d v d t

onde mantivemos o raio da órbita constante, como pedido no enunciado. A carga e a massa dos elétrons também não muda. Além disso, d v d t = a . Então,

q R d B d t = m d v d t = m a = q E ⇒ E = R d B d t

Passo 2

Nós já sabemos que

∮ E → ⋅ d l → = E ( 2 π R ) = - d Φ d t ⇒ E = - 1 2 π R d Φ d t

Comparando esse resultado com o do passo anterior, vemos que

- 1 2 π R d Φ d t = R d B d t ⇒ B = - 1 2 π R 2 d Φ d t + c o n s t a n t e

Como os elétrons partem do repouso quando o campo é igual a zero, então,

B = 0 = - 1 2 π R 2 d Φ d t + c o n s t a n t e = c o n s t a n t e ⇒ c o n s t a n t e = 0

Ou seja,

B ( R ) = - 1 2 π R 2 d Φ d t

Então, o campo médio sobre a área da órbita é o dobro do campo na circunferência, como foi pedido.

Resposta

Veja a resolução acima.