Embora os teoremas do gradiente, do divergente e do rotacional sejam os teoremas fundamentais do cálculo integral vetorial, é possível derivar uma série de corolários a partir deles. Mostre que:

(a)   ∫ V ( ∇ T ) d r = ∮ S T d a . [Dica: considere que v = c T . Onde c é uma constante, no teorema do divergente; use as regras de produtos.]

(b) ∫ V ( ∇ × v ) d r = - ∮ S v × d a . [Dica: substitua v por ( v × c ) no teorema do divergente.]

(c) ∫ V ( T ∇ 2 U + ∇ T . ( ∇ U ) ) d r = ∮ S ( T ∇ U ) . d a . [Dica: Considere que v = T ∇ U no teorema do divergente.]

(d) ∫ V ( T ∇ 2 U - U ∇ 2 T ) d r = ∮ S ( T ∇ U - U ∇ T ) . d a . [Comentário: esta expressão é conhecida como o teorema de Green: ela é decorrente de (c), que às vezes é chamada de identidade de Green.]

(e) ∫ V ∇ T × d a = - ∮ P T d l . [Dica: considere v = c T no teorema de Stokes.]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Tudo bemm?? Nesta questão a missão que temos é manipular as equações pedidas em cada letra e fazermos algumas considerações, nada muito complicado. Bora lá!!!

Passo 2

Nessa primeira questão vamos adicionar uma constante vetorial c na função, e ver se os dois lados da equação continuam com a componente c .

∫ V ∇ . c T d r = ∮ S c T d a

∫ V T ∇ . c + c ∇ . T d r = ∮ S c T d a

O divergente de uma constante é zero, então a equação fica:

∫ V c ∇ . T d r = ∮ S c T d a

Removendo as constantes da integral

c ∫ V ∇ . T d r = c ∮ S T d a

Portanto, qualquer componente do lado esquerdo da equação corresponde a componente do lado direito!!

Passo 3

Colocando o teorema do divergente e trocando v = u × c .

∫ V ∇ . ( u × c ) d r = - ∮ S u × c d a

∫ V c . ∇ × u - u . ∇ × c d r = ∮ S c . ( d a × u )

Rotacional de uma constante é zero, então:

c . ∫ V ∇ × u d r = c . ∮ S ( - u × d a )

Portanto, mais uma vez a componente fica dos dois lados!!

Passo 4

Começando com o teorema do divergente e substituindo v = T ∇ U , onde T e U são funções escalares diferenciáveis.

∫ V ∇ . v d V = ∮ S v . d a

∫ V ∇ . ( T ∇ U ) d V = ∮ S ( T ∇ U ) . d a

∫ V T ∇ . ∇ U + ∇ U . ( ∇ T ) d V = ∮ S ( T ∇ U ) . d a

Sendo assim:

∫ V T ∇ 2 U + ∇ T . ( ∇ U ) d V = ∮ S ( T ∇ U ) . d a

Passo 5

O teorema de Green’s nos da a seguinte equação:

∫ V T ∇ 2 U + ∇ T . ( ∇ U ) d V = ∮ S ( T ∇ U ) . d a

E o teorema é valido mesmo que o U e o T tenham os lugares trocados.

∫ V U ∇ 2 T + ∇ U . ( ∇ T ) d V = ∮ S ( U ∇ T ) . d a

Subtraindo a primeira equação pela segunda, encontramos:

∫ V T ∇ 2 U + ∇ T . ( ∇ U ) d V - ∫ V U ∇ 2 T + ∇ U . ∇ T d V = ∮ S T ∇ U . d a - ∮ S ( U ∇ T ) . d a

∫ V T ∇ 2 U + ∇ T . ∇ U - U ∇ 2 T - ∇ U . ∇ T d V = ∮ S T ∇ U - U ∇ T . d a

∫ V T ∇ 2 U - U ∇ 2 T d V = ∮ S T ∇ U - U ∇ T . d a

Aqui está a nossa igualdada!!

Passo 6

Começando com o teorema de Stokes e trocar v = c T .

∫ S ( ∇ × v ) d S = ∮ v . d l

∫ S ( ∇ × ( c T ) ) d S = ∮ ( c T ) . d l

∫ S T ∇ × c - c × ∇ T d S = c ∮ T . d l

- ∫ S c × ∇ T d S = c ∮ T . d l

c ∫ S ∇ T × d S = - c ∮ T . d l

Simplificando as constantes encontramos a mesma equação do enunciado!!!

Resposta

Resolução nos passos anteriores.