Embora os teoremas do gradiente, do divergente e do rotacional sejam os teoremas fundamentais do cálculo integral vetorial, é possível derivar uma série de corolários a partir deles. Mostre que:
(a). [Dica: considere que . Onde é uma constante, no teorema do divergente; use as regras de produtos.]
(b) . [Dica: substitua por no teorema do divergente.]
(c) . [Dica: Considere que no teorema do divergente.]
(d) . [Comentário: esta expressão é conhecida como o teorema de Green: ela é decorrente de (c), que às vezes é chamada de identidade de Green.]
(e) . [Dica: considere no teorema de Stokes.]
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida. Tudo bemm?? Nesta questão a missão que temos é manipular as equações pedidas em cada letra e fazermos algumas considerações, nada muito complicado. Bora lá!!!
Passo 2
Nessa primeira questão vamos adicionar uma constante vetorial na função, e ver se os dois lados da equação continuam com a componente .
O divergente de uma constante é zero, então a equação fica:
Removendo as constantes da integral
Portanto, qualquer componente do lado esquerdo da equação corresponde a componente do lado direito!!
Passo 3
Colocando o teorema do divergente e trocando .
Rotacional de uma constante é zero, então:
Portanto, mais uma vez a componente fica dos dois lados!!
Passo 4
Começando com o teorema do divergente e substituindo , onde e são funções escalares diferenciáveis.
Sendo assim:
Passo 5
O teorema de Green’s nos da a seguinte equação:
E o teorema é valido mesmo que o e o tenham os lugares trocados.
Subtraindo a primeira equação pela segunda, encontramos:
Aqui está a nossa igualdada!!
Passo 6
Começando com o teorema de Stokes e trocar .
Simplificando as constantes encontramos a mesma equação do enunciado!!!
Resposta
Resolução nos passos anteriores.