Encontre o campo dentro de uma esfera de material dielétrico linear em um campo elétrico E 0 que inicialmente é uniforme (Exemplo 4.7) pelo seguinte método de aproximação sucessivas: primeiro faça de conta que o campo interno é apenas E 0 e use a equação 4.30 para escrever a polarização resultante P 0 . Esta polarização gera um campo próprio E 1 (Exemplo 4.2), que por sua vez modifica a polarização por uma quantidade P 1 , a qual altera ainda mais o campo por uma quantidade E 2 , e assim por diante. O campo resultante é E 0 + E 1 + E 2 + … . Some a série e compare sua resposta à Equação 4.49

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A polarização induzida pelo campo inicial é:

P 0 → = ϵ 0 χ e E 0 →

Isso modifica o campo elétrico para que o novo campo elétrico seja:

E 1 → = E 0 → - P 0 → 3 ϵ 0 = E 0 → 1 - χ e 3

Apenas repetindo o processo até que o padrão apareça. Calcule a polarização induzida pelo novo campo elétrico e, em seguida, calculou o novo campo elétrico:

P 1 → = ϵ 0 χ e E 1 → = ϵ 0 χ e E 0 → 1 - χ e 3

Para o E 2 →

E 2 → = E 0 → - P 1 → 3 ϵ 0 = E 0 → 1 - χ e 3 1 - χ e 3 = E 0 → 1 - χ e 3 + χ e 3 2

Com isso, P 2 → e E 3 → são respectivamente

P 2 → = ϵ 0 χ e E 2 → = ϵ 0 χ e E 0 → 1 - χ e 3 + χ e 3 2

E

E 3 → = E 0 → - P 2 → 3 ϵ 0 = 1 - χ e 3 + χ e 3 2 - χ e 3 3

Passo 2

De forma lógica, a n-ésima iteração do campo elétrico será igual a

E n → = E 0 → ∑ k = 0 n - χ e 3 k

Para um k → ∞ , a série será convergente se χ e < 3

1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = 1 1 - x ;     x < 1

Com isso,

E ∞ → = E → = E 0 → ∑ k = 0 n - χ e 3 k = E 0 → 1 1 - - χ e 3 = E 0 → 3 3 + χ e = E 0 → 3 2 + ϵ r

Onde ϵ r = 1 + χ e .

Resposta

E → =   E 0 → 3 2 + ϵ r