Encontre o campo elétrico dentro de uma esfera com uma densidade de carga proporcional à distância da origem, ρ = k r , k sendo uma constante. [Dica: esta densidade de carga não é uniforme e você deve integrar para chegar à carga encerrada.]

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para acharmos o campo elétrico com a lei de Gauss usamos a fórmula abaixo:

∮ S E . d a = 1 ϵ 0 Q E n

Quer dizer que a integral do campo elétrico em uma superfície fechada é igual a carga envolvida dividida por uma constante. O que precisamos agora é definir a superfície e a carga envolvida. Bora lá!!!

Passo 2

O fio infinito e a superfície Gaussiana que vamos considerar estão abaixo:

A superfície que vamos considerar podemos analisar que será a de uma esfera, sendo sua área de superfície definida por A s = 4 π r 2 .

Porém, para a carga envolvida temos uma diferença dos exercícios anteriores. Neste exercício, a carga é proporcional a distância do centro, quer dizer que quanto mais perto da superfície da esfera mais carga. Portanto, temos que integrar essa carga.

Montando uma integral esférica para calcular a carga envolvida.

Q E n = k ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 π s e n   θ d θ ∫ 0 r r 3 d r

Q E n = 4 π k r 4 4 = π k r 4

Substituindo os valores na fórmula do passo 1.

E 4 π r 2 = π k r 4 ϵ 0

E = k r 2 4 ϵ 0 r ^

Resposta

E = k r 2 4 ϵ 0 r ^