Encontre o campo elétrico a uma distância z acima de uma das extremidades de um segmento de linha reta L (Figura 2.7) e que tem uma distribuição linear de carga uniforme, de densidade λ . Verifique se a sua fórmula é coerente com o que seria de se esperar para o caso de z ≫ L .

Passo 1

Falaaa, tudo bemm?? Espero que sim!! Para resolvermos este exercício vamos usar a fórmula do campo elétrico para carga uniforme abaixo:

E → = 1 4 π ϵ 0 ∫ d q r 2 r ^

Mas antes de substituirmos os valores precisamos interpretar a figura que o enunciado se refere. Bora para o exemplo!!

Passo 2

Antes de tudo, como o ponto em que estamos procurando o campo elétrico está em uma das extremidades da linha, nenhum vetor irá se cancelar. Então, teremos um campo no vetor vertical e horizontal.

Os parâmetros da fórmula podem ser analisados abaixo:

Estamos considerando uma parte infinitesimal da linha, representada pela cor azul.

Sabemos que o campo elétrico na componente vertical e horizontal são dadas por:

E z = E ⃑ cos ⁡ θ

E x = E ⃑ s e n   θ

Vamos calcular um vetor por vez e depois o campo elétrico será a soma deles.

E z = 1 4 π ϵ 0 ∫ d q r 2 cos ⁡ θ

Como o enunciado nos diz que a densidade de carga é uniforme. Então, d q = λ   d x .

Enquanto que o cosseno de θ é cateto adjacente sobre hipotenusa.

E z = 1 4 π ϵ 0 ∫ z λ r 3 d x

Pela imagem, sabemos que o x varia do ponto inicial até o fim da linha.

E z = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 L z λ r 3 d x

Pelo teorema de Pitágoras r 2 = z 2 + x 2 .

E z = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 L z λ z 2 + x 2 3 / 2   d x

Resolvendo a integral por substituição trigonométrica, encontramos:

E z = 1 4 π ϵ 0 λ x z z 2 + x 2   L 0

E z = 1 4 π ϵ 0 λ L z z 2 + L 2  

Agora, vamos encontrar o campo elétrico na horizontal. O campo elétrico que está sendo aplicado no ponto P é contrário a x . Então, colocamos o negativo.

E x = - 1 4 π ϵ 0 ∫ λ   d x r 2 sen ⁡ θ

O seno é definido pelo cateto oposto sobre hipotenusa.

E x = - 1 4 π ϵ 0 ∫ λ x r 3 d x

O r continua com o mesmo valor da componente vertical e o x também varia até o fim da linha.

E x = - 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 L λ x z 2 + x 2 3 / 2 d x

Resolvendo a integral por substituição encontramos:

E x = - 1 4 π ϵ 0 - λ z 2 + x 2 L 0

Aplicando os limites.

E x = 1 4 π ϵ 0 λ z 2 + L 2 - λ z

Portanto, o campo elétrico que queríamos encontrar é a soma dos que encontramos.

E = λ 4 π ϵ 0 1 z 2 + L 2 - 1 z x ^ + L z z 2 + L 2   z ^

Portanto, caso o z seja muito maior que o L , o campo elétrico da componente horizontal irá se cancelar e a componente vertical se resumirá a:

E = λ 4 π ϵ 0 L z 2   z ^

Resposta

E = λ 4 π ϵ 0 1 z - 1 z 2 + L 2 x ^ + L z z 2 + L 2   z ^