Encontre o campo elétrico a uma distância z do centro de uma superfície esférica de raio R (Figura 2.11), que tem uma distribuição superficial de carga elétrica de densidade uniforme σ . Aborde o caso z < R (interno), bem como z > R (externo). Expresse suas respostas em termos da carga total q na esfera. [Dica: use a lei dos cossenos para escrever r em termos de R e θ . Certifique-se de escolher a raiz quadrada positiva: R 2 + z 2 - 2 R z = R - z se R > z , mas é ( z - R ) se R < z .]

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Para a resolução desse problema vamos usar a formula do campo elétrico para densidade superficial abaixo:

E = 1 4 π ϵ 0 ∫ σ r ' r 2 r ^ d a '

Mas antes precisamos analisar a esfera e os parâmetros para definir os valores da fórmula. Bora lá!!!

Passo 2

Os parâmetros do exercício podem ser analisados na figura abaixo:

Pela imagem e com um pouco de análise geométrica podemos concluir:

d q = σ d a = σ R 2 s e n   θ   d θ   d ϕ

r 2 = R 2 + z 2 - 2 R z   c o s   θ

cos ⁡ φ = z - R c o s   θ r

Então, como o campo elétrico aponta na direção de z , o campo elétrico é definido por:

E z = 1 4 π ϵ 0 ∫ σ R 2 s e n   θ   d θ   d ϕ ( z - R c o s θ ) R 2 + z 2 - 2 R z cos ⁡ θ 3 / 2

O ϕ varia de 0 até 2 π . Então, podemos colocar o resultado e remover as constantes.

E z = 1 4 π ϵ 0 2 π R 2 σ ∫ 0 π s e n   θ z - R c o s θ R 2 + z 2 - 2 R z cos ⁡ θ 3 / 2 d θ

Usando integração por substituição.

u = cos ⁡ θ                                 d θ = - 1 s e n   θ d u

Ajustando os limites. Quando θ = 0 ; u = 1 . Quando θ = π ; u = - 1 .

E z = 1 4 π ϵ 0 2 π R 2 σ ∫ - 1 1 z - R u R 2 + z 2 - 2 R z u 3 / 2 d u

E z = 1 4 π ϵ 0 2 π R 2 σ 1 z 2 z u - R R 2 + z 2 - 2 R z u 1 - 1

E z = 1 4 π ϵ 0 2 π R 2 σ z 2 z - R z - R - - z - R z + R

Sendo assim, quando z > R , ou seja, o campo fora da esfera.

E z = 1 4 π ϵ 0 4 π R 2 σ z 2

E dentro da esfera não haverá carga envolvida, então o campo será zero.

E = 0

Resposta

Fora da esfera:

E z = 1 4 π ϵ 0 4 π R 2 σ z 2

Dentro da esfera:

E = 0