Encontre o campo magnético em um ponto no eixo (a) do disco giratório
Passo 1
Fala, galera! Tudo tranquilo? Que ótimo!
Vamos começar dividindo o disco em vários anéis infinitesimais de carga. A carga total de um anel será vezes a área de superfície dele. Como o anel é infinitesimal, a sua área deve ser a multiplicação do seu comprimento pela espessura . Para um anel localizado a uma distância do centro, temos . Então, a carga para esse anel é .
Agora que a gente sabe qual é a carga, podemos calcular a corrente para esse anel. Mas, antes, temos que notar que o tempo que o anel leva para fazer uma rotação completa é o inverso da frequência, ou seja, , onde é a velocidade angular do disco. Assim, ficamos com
Passo 2
Lá no Exemplo 5.6 do livro tem o cálculo do campo magnético para um anel de carga com raio , então dá uma olhadinha pra refrescar a memória:
Como cada anel é apenas um parte infinitesimal do disco, então quando usamos a fórmula acima na verdade estamos calculando uma contribuição infinitesimal :
onde a gente mudou por porque esse é o raio do anel que queremos.
Passo 3
Beleza! O que a gente tem que fazer agora é integrar :
Vamos resolver a integral separadamente. Antes disso, vamos fazer uma mudança de variáveis: quando e quando . Assim,
Agora, fazemos uma nova substituição de variáveis: , quando e quando . Então,
Assim, o campo na direção é:
Como só temos campo na direção, , então