Encontre o campo magnético em um ponto z > R no eixo (a) do disco giratório

Passo 1

Fala, galera! Tudo tranquilo? Que ótimo!

Vamos começar dividindo o disco em vários anéis infinitesimais de carga. A carga total de um anel será σ vezes a área de superfície dele. Como o anel é infinitesimal, a sua área deve ser a multiplicação do seu comprimento pela espessura d r . Para um anel localizado a uma distância r do centro, temos l = 2 π r . Então, a carga para esse anel é d q = 2 π σ r d r .

Agora que a gente sabe qual é a carga, podemos calcular a corrente para esse anel. Mas, antes, temos que notar que o tempo que o anel leva para fazer uma rotação completa é o inverso da frequência, ou seja, d t = 2 π / ω , onde ω é a velocidade angular do disco. Assim, ficamos com

I = d q d t = 2 π σ r d r 2 π / ω = σ ω r d r

Passo 2

Lá no Exemplo 5.6 do livro tem o cálculo do campo magnético para um anel de carga com raio R , então dá uma olhadinha pra refrescar a memória:

B ( z ) = μ 0 I 2 R 2 ( R 2 + z 2 ) 3 / 2

Como cada anel é apenas um parte infinitesimal do disco, então quando usamos a fórmula acima na verdade estamos calculando uma contribuição infinitesimal d B :

d B ( z ) = μ 0 σ ω r d r 2 r 2 ( r 2 + z 2 ) 3 / 2

onde a gente mudou R por r porque esse é o raio do anel que queremos.

Passo 3

Beleza! O que a gente tem que fazer agora é integrar d B ( z ) :

B ( z ) = ∫ d B ( z ) = ∫ 0 R μ 0 σ ω r d r 2 r 2 ( r 2 + z 2 ) 3 / 2 = μ 0 σ ω 2 ∫ 0 R r 3 d r ( r 2 + z 2 ) 3 / 2

Vamos resolver a integral separadamente. Antes disso, vamos fazer uma mudança de variáveis: u = r 2 ⇒ d u = 2 r d r , u = 0 quando r = 0 e u = R 2 quando r = R . Assim,

∫ 0 R r 3 d r ( r 2 + z 2 ) 3 / 2 = 1 2 ∫ 0 R r 2 ( 2 r d r ) ( r 2 + z 2 ) 3 / 2 = 1 2 ∫ 0 R 2 u d u ( u + z 2 ) 3 / 2

Agora, fazemos uma nova substituição de variáveis: v = u + z 2 ⇒ u = v - z 2 ,   d v = d u , v = z 2 quando u = 0 e v = z 2 + R 2 quando u = R 2 . Então,

1 2 ∫ 0 R r 3 d r ( r 2 + z 2 ) 3 / 2 = 1 2 ∫ z 2 R 2 + z 2 ( v - z 2 ) d v v 3 / 2 = 1 2 ∫ z 2 R 2 + z 2 d v v 1 / 2 - z 2 d v v 3 / 2 = 1 2 2 v 1 / 2 + 2 z 2 v 1 / 2 z 2 R 2 + z 2

∫ 0 R r 3 d r ( r 2 + z 2 ) 3 / 2 = ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 + z 2 ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - ( z 2 ) 1 / 2 - z 2 ( z 2 ) 1 / 2 = ( R 2 + z 2 + z 2 ) ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - 2 z = ( R 2 + 2 z 2 ) ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - 2 z

Assim, o campo na direção z ^ é:

B ( z ) = μ 0 σ ω 2 ∫ 0 R r 3 d r ( r 2 + z 2 ) 3 / 2 = μ 0 σ ω 2 ( R 2 + 2 z 2 ) ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - 2 z

Como só temos campo na direção, z ^ , então

B → ( z ) = μ 0 σ ω 2 ( R 2 + 2 z 2 ) ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - 2 z z ^

Resposta

B → ( z ) = μ 0 σ ω 2 ( R 2 + 2 z 2 ) ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - 2 z z ^