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Enunciado

Física - Eletrodinâmica - David J. Griffiths- Ed: 3º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 47b

Encontre o campo magnético em um ponto z > R no eixo (b) da esfera giratória do problema 5.6.

Passo 1

Fala, pessoal! Vamos continuar essa questão? Bora lá!

Aqui, vamos ser espertos e usar o resultado do item (a). Para conseguir fazer isso, temos que dividir a esfera em discos com espessura infinitesimal. A dificuldade agora é definir o raio e espessura desse disco. O raio, vai ser igual ao tamanho do cateto oposto ao ângulo θ , ou seja, R s e n   θ . A espessura do disco vai ser R s e n   θ d θ . Então, a densidade de carga superficial vai ser igual a multiplicação da densidade de carga volumétrica vezes a espessura do disco: σ = ρ R s e n   θ d θ .

Além disso, o campo que calculamos no item (a) agora é só uma contribuição infinitesimal do campo da esfera. Temos o termo

( R 2 + 2 z 2 ) ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - 2 z = 2 ( R 2 + z 2 ) ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - R 2 ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - 2 z = 2 ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - R 2 / 2 ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - z

Como o raio do disco agora é R s e n   θ , então R →   R s e n   θ no resultado do item (a). Além disso, a distância do ponto onde calculamos o campo agora não é mais z e sim   z - R c o s θ , porque temos que tirar a distância vertical da origem até o disco. Fazendo essas mudanças, e notando que R 2 + z 2 → R 2 s e n 2   θ   + z 2 + R 2 c o s 2 θ - 2 z R c o s θ = R 2 + z 2 - 2 z R c o s θ , ficamos com

( R 2 + 2 z 2 ) ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - 2 z → 2 ( R 2 + z 2 - 2 z R c o s θ ) 1 / 2 - R 2 s e n 2 θ / 2 ( R 2 + z 2 - 2 z R c o s θ ) 1 / 2 - ( z - R c o s θ )

Passo 2

Agora, nós vamos calcular d B z usando as informações do passo anterior:

B z = μ 0 σ ω 2 ( R 2 + 2 z 2 ) ( R 2 + z 2 ) 1 / 2 - 2 z

→ d B z = μ 0 ρ R s e n   θ d θ ω 2 2 ( R 2 + z 2 - 2 z R c o s θ ) 1 / 2 - R 2 s e n 2 θ / 2 ( R 2 + z 2 - 2 z R c o s θ ) 1 / 2 - ( z - R c o s θ )

Para obter o campo total, temos que integrar:

B z = ∫ d B z = ∫ 0 π μ 0 ρ R s e n   θ ω ( R 2 + z 2 - 2 z R c o s θ ) 1 / 2 - R 2 s e n 2 θ / 2 ( R 2 + z 2 - 2 z R c o s θ ) 1 / 2 - ( z - R c o s θ ) d θ

Para resolver essa integral, vamos usar a mudança de variáveis u = c o s θ ⇒ d u = - s e n   θ , u = 1 quando θ = 0 e u = - 1 quando θ = π . Também temos que notar que s e n 2 θ = 1 - c o s 2 θ = 1 - u 2 . Assim,

B z = - ∫ 1 - 1 μ 0 ρ R ω ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 - R 2 ( 1 - u 2 ) / 2 ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 - ( z - R u ) d u

B z = ∫ - 1 1 μ 0 ρ R ω ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 - R 2 ( 1 - u 2 ) / 2 ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 - ( z - R u ) d u

B z = μ 0 ρ R ω ∫ - 1 1 ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 d u - R 2 2 ∫ - 1 1 d u ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 + R 2 2 ∫ - 1 1 u 2 d u ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 - ∫ - 1 1 z d u + ∫ - 1 1 R u d u

B z = μ 0 ρ R ω I 1 - R 2 2 I 2 + R 2 2 I 3 - z I 4 + R I 5

Passo 3

Vamos calcular cada integral aqui:

I 1 = ∫ - 1 1 ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 d u = - 1 3 R z ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 3 / 2 | - 1 1

I 1 = - 1 3 R z ( R 2 + z 2 + 2 z R ) 3 / 2 + 1 3 R z ( R 2 + z 2 - 2 z R ) 3 / 2 = - 1 3 R z ( R + z 2   ) 3 / 2 + 1 3 R z ( R - z 2 ) 3 / 2

I 1 = - 1 3 R z ( R + z   ) 3 + 1 3 R z R - z 3 = - 1 3 R z ( z 3 - 3 z 2 R + 3 z R 2 - R 3 - z 3 - 3 z 2 R - 3 z R 2 - R 3 )

I 1 = - 1 3 R z ( - 6 z 2 R - 2 R 3 ) = 2 3 z ( 3 z 2 + R 2 )

I 2 = ∫ - 1 1 d u ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 = - 1 z R ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 | - 1 1 = - 1 z R ( R 2 + z 2 - 2 z R ) 1 / 2 + 1 z R ( R 2 + z 2 + 2 z R ) 1 / 2

I 2 = - 1 z R ( ( z - R ) 2 ) 1 / 2 + 1 z R ( ( z + R ) 2 ) 1 / 2 = - 1 z R ( z - R ) + 1 z R ( z + R ) = 2 z

I 3 = ∫ - 1 1 u 2 d u ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2

Para essa integral, vamos fazer a substituição: v = R 2 + z 2 - 2 z R u 1 / 2 ⇒ d v = - z R d u / R 2 + z 2 - 2 z R u 1 / 2 , v 2 = ( R + z ) 2 quando u = - 1 e v = ( R - z ) 2 quando u = 1 . Além disso, u = ( R 2 + z 2 - v 2 ) / 2 z R , então

I 3 = ∫ - 1 1 u 2 d u ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 = ∫ - 1 1 u 2 d u ( R 2 + z 2 - 2 z R u ) 1 / 2 = - 1 4 z 3 R 3 ∫ R + z R - z R 2 + z 2 - v 2 2 d v

I 3 = - 1 4 z 3 R 3 ∫ R + z R - z R 2 + z 2 2 - 2 R 2 + z 2 v 2 + v 4 d v

I 3 = - 1 4 z 3 R 3 R 2 + z 2 2 v - 2 3 R 2 + z 2 v 3 + 1 5 v 5 R + z R - z

Agora, voltamos a variável inicial fazendo v = R 2 + z 2 - 2 z R u 1 / 2

I 3 = - 1 4 z 3 R 3 R 2 + z 2 2 R 2 + z 2 - 2 z R u - 2 3 R 2 + z 2 R 2 + z 2 - 2 z R u 3 / 2 + 1 5 R 2 + z 2 - 2 z R u 5 / 2 - 1 1

I 3 = - R 2 + z 2 - 2 z R u 1 / 2 4 z 3 R 3 R 2 + z 2 2 - 2 3 R 2 + z 2 R 2 + z 2 - 2 z R u + 1 5 R 2 + z 2 - 2 z R u 2 - 1 1

I 3 = - R 2 + z 2 - 2 z R u 1 / 2 60 z 3 R 3 15 R 2 + z 2 2 - 10 R 2 + z 2 R 2 + z 2 - 2 z R u + 3 R 2 + z 2 - 2 z R u 2 - 1 1

I 3 = - R 2 + z 2 - 2 z R u 1 / 2 60 z 3 R 3 15 R 2 + z 2 2 - 10 R 2 + z 2 2 + 20 z R u R 2 + z 2 + 3 R 2 + z 2 2 - 1 1

+ - 12 z R u R 2 + z 2 + 12 z 2 R 2 u 2 - 1 1

I 3 = - R 2 + z 2 - 2 z R u 1 / 2 60 z 3 R 3 8 R 2 + z 2 2 + 8 z R u R 2 + z 2 + 12 z 2 R 2 u 2 - 1 1

I 3 = - ( z - R ) 60 z 3 R 3 8 R 2 + z 2 2 + 8 z R R 2 + z 2 + 12 z 2 R 2 + ( z + R ) 60 z 3 R 3 8 R 2 + z 2 2 - 8 z R R 2 + z 2 + 12 z 2 R 2

I 3 = 16 R 60 z 3 R 3 R 2 + z 2 2 - z 2 R 2 + z 2 + 3 2 z 2 R 2 = 4 15 z 3 R 2 R 4 + z 4 + 2 R 2 z 2 - z 2 R 2 - z 4 + 3 2 z 2 R 2

I 3 = 4 15 z 3 R 2 R 4 + 5 2 z 2 R 2 = 4 15 z 3 R 2 + 5 2 z 2

I 4 = ∫ - 1 1 d u = u | - 1 1 = 1 - ( - 1 ) = 2

I 5 = ∫ - 1 1 u d u = u 2 2 | - 1 1 = 1 2 - ( - 1 ) 2 2 = 0

Passo 4

Depois de toda essa diversão com as integrais, vamos voltar ao nosso problema de calcular o campo magnético:

B z = μ 0 ρ R ω I 1 - R 2 2 I 2 + R 2 2 I 3 - z I 4 + R I 5

B z = μ 0 ρ R ω 2 3 z ( 3 z 2 + R 2 ) - R 2 2 2 z + R 2 2 4 15 z 3 R 2 + 5 2 z 2 - 2 z + R ⋅ 0

B z = μ 0 ρ R ω 2 z + 2 R 2 3 z - R 2 z + 2 R 4 15 z 3 + R 2 3 z 2 - 2 z = μ 0 ρ R ω 2 R 4 15 z 3

Para fechar a questão, só temos que lembrar de um detalhe: a densidade de carga volumétrica é igual a carga total dividida pelo volume da esfera: ρ = 3 Q 4 π R 3 . Então, ficamos com

B z = μ 0 ρ R ω 2 R 4 15 z 3 = μ 0 R ω 2 R 4 15 z 3 3 Q 4 π R 3 = μ 0 ω R 2 5 z 3 Q 2 π = μ 0 ω R 2 Q 10 π z 3

B → = μ 0 ω R 2 Q 10 π z 3 z ^

É “só isso”, pessoal! Nos vemos na próxima!

Resposta

B → = μ 0 ω R 2 Q 10 π z 3 z ^