Encontre os campos e as distribuições de carga e de corrente correspondentes a

V r , t = 0 ,   A r , t = - 1 4 π ϵ 0 q t r 2 r ^

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O campo elétrico pode ser escrito como o gradiente de um escalar como na equação (10.3) na forma

E = - Δ V - ∂ A ∂ t     ( 1 )

O potencial para este caso é igual a zero

V r , t = 0

Portanto, a diferença de potencial (d.d.p) é zero Δ V = 0 . A função dada por

A r , t = - 1 4 π ϵ 0 q t r 2 r ^   ( 2 )

Derivando a equação acima

∂ A ∂ t = ∂ ∂ t - 1 4 π ϵ 0 q t r 2 r ^

Logo, é igual a

∂ A ∂ t = - 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

Agora, podemos resolver E substituindo a expressão de ∂ A ∂ t e o valor de Δ V para a equação (1)

E = 0 - - 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^ = 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

Passo 2

Para a carga, usaremos as equações de Maxwell para obter a densidade de carga que é expressa como:

∇ ∙ E = ρ ϵ 0

Usando o valor de E para conseguir ρ

ρ = ϵ 0 ∇ ∙ E

Com isso,

ρ = ϵ 0 ∇ ∙ 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

Que é igual a

ρ = 1 4 π q δ 3 r → 4 π = q δ 3 r →

Passo 3

O produto escalar do campo magnético das equações de Maxwell é ∇ ∙ B = 0 . A partir da equação (10.1), a densidade de corrente pode ser encontrada substituindo o valor do campo magnético por zero

∇ × B = - μ 0 J

Substituindo o rotacional

0 = - μ 0 J

Que é igual a

J = 0

Resposta

a ) 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

b )   ρ = q δ 3 r →

c )   J = 0