(a) Encontre o divergente da função

v = r ^ r

Primeiro calcule-o diretamente, como na Equação 1.84. Confira o resultado usando o teorema do divergente, como na Equação 1.85. Existe uma função delta na origem, como havia para r ^ / r 2 ? Qual é a fórmula geral para o divergente de r n r ^ ? [Resposta: ∇ . r n r ^ = n + 2 r n - 1 , a menos que n = - 2 , em cujo caso será 4 π δ 2 ( r ) : para n < - 2 o divergente é mal definido na origem.]

(b) Encontre o rotacional de r n r ^ . Verifique sua conclusão usando o Problema 1.60b. [Resposta: ∇ × r n r ^ = 0 ]

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos esse exercício vamos seguir o passo a passo que o enunciado fala, em cada parte da questão vamos definir os teoremas e fazer a manipulações necessárias. Bora para o passo a passo!!!

Passo 2

Antes de tudo, vamos supor que v representa uma esfera centrada na origem, e o teorema do divergente diz o seguinte:

∭ V ∇ . v d V = ∯ v d a

Calculando o divergente de v , encontramos:

∇ ∙ v = 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 1 r

= 1 r 2 1

∇ ∙ v = 1 r 2

Como estamos supondo que a função de v representa uma esfera, para a função abaixo:

∭ V ∇ . v d V

Temos que d V = r 2   s e n   θ   d r   d ϕ   d θ . Logo, nossa integral fica:

∭ V ∇ . v d V = ∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 R 1 r 2 r 2   s e n   θ   d r   d ϕ   d θ

= ∫ 0 π s e n   θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ ∫ 0 R d r

= 2 2 π R = 4 π R

Para o lado direito do teorema do divergente:

∯ v d a = ∫ 0 π ∫ 0 2 π 1 R r ^ ∙ r ^ R 2 s e n   θ   d ϕ   d θ

= R ∫ 0 π ∫ 0 2 π s e n   θ d ϕ d θ

= 4 π R

Sendo assim, conferimos o teorema do divergente, achamos o mesmo resultado dos dois lados!!

Como encontramos o mesmo resultado dos dois lados, então, neste caso não é necessária uma função delta na origem. Diferente da Equação 1.84, aparentemente a função v não explode tão rápido quando r tende a zero.

Para encontramos a fórmula geral do divergente, apenas calculamos o divergente da função supondo que v é uma esfera:

∇ ∙ v = 1 r 2 ∂ ∂ r r 2 . r n + 1 r   s e n   θ ∂ ∂ θ 0 . s e n   θ + 1 r   s e n   θ ∂ ∂ ϕ ( 0 )

= 1 r 2 d d r r n + 2

= 1 r 2 n + 2 r n + 1

∇ ∙ v = n + 2 r n - 1

Passo 3

Em coordenadas esféricas ( r ,   ϕ ,   θ ) , o rotacional é definido em:

∇ × v = 1 r   s e n   θ ∂ ∂ θ v ϕ   s e n   θ - ∂ v θ ∂ ϕ r ^ + 1 r 1 s e n   θ ∂ v r ∂ ϕ - ∂ ∂ r ( r v ϕ ) θ ^ + 1 r ∂ ∂ r ( r v θ ) - ∂ v r ∂ θ ϕ ^

No nosso exemplo ficamos com:

= 1 r   s e n   θ ∂ ∂ θ 0 .   s e n   θ - ∂ ∂ ϕ ( 0 ) r ^ + 1 r 1 s e n   θ ∂ ∂ ϕ ( r n ) - ∂ ∂ r ( r . 0 ) θ ^ + 1 r ∂ ∂ r ( r . 0 ) - ∂ ∂ θ ( r n ) ϕ ^

= 1 r   s e n   θ 0 - ( 0 ) r ^ + 1 r 1 s e n   θ ( 0 ) - ( 0 ) θ ^ + 1 r ( 0 ) - ( 0 ) ϕ ^

∇ × v = 0

De acordo com o Problema 1.61.

∭ D ∇ × v d V = - ∯ v × d S

Substituindo os valores do enunciado.

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 R ∇ × r n r ^ r 2 s e n   θ   d r   d ϕ   d θ = - ∫ 0 π ∫ 0 2 π ( R n r ^ ) × ( r ^ R 2   s e n   θ   d ϕ   d θ )

∫ 0 π ∫ 0 2 π ∫ 0 R 0 r 2 s e n   θ   d r   d ϕ   d θ = - ∫ 0 π ∫ 0 2 π 0 d ϕ   d θ

0 = 0

Resposta

Resolução nos passos anteriores.