(a) Encontre o divergente da função
Primeiro calcule-o diretamente, como na Equação 1.84. Confira o resultado usando o teorema do divergente, como na Equação 1.85. Existe uma função delta na origem, como havia para ? Qual é a fórmula geral para o divergente de ? [Resposta: , a menos que , em cujo caso será : para o divergente é mal definido na origem.]
(b) Encontre o rotacional de . Verifique sua conclusão usando o Problema 1.60b. [Resposta: ]
Passo 1
Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos esse exercício vamos seguir o passo a passo que o enunciado fala, em cada parte da questão vamos definir os teoremas e fazer a manipulações necessárias. Bora para o passo a passo!!!
Passo 2
Antes de tudo, vamos supor que representa uma esfera centrada na origem, e o teorema do divergente diz o seguinte:
Calculando o divergente de , encontramos:
Como estamos supondo que a função de representa uma esfera, para a função abaixo:
Temos que . Logo, nossa integral fica:
Para o lado direito do teorema do divergente:
Sendo assim, conferimos o teorema do divergente, achamos o mesmo resultado dos dois lados!!
Como encontramos o mesmo resultado dos dois lados, então, neste caso não é necessária uma função delta na origem. Diferente da Equação 1.84, aparentemente a função não explode tão rápido quando tende a zero.
Para encontramos a fórmula geral do divergente, apenas calculamos o divergente da função supondo que é uma esfera:
Passo 3
Em coordenadas esféricas , o rotacional é definido em:
No nosso exemplo ficamos com:
De acordo com o Problema 1.61.
Substituindo os valores do enunciado.
Resposta
Resolução nos passos anteriores.