a) Encontre o divergente da função

v = s 2 + sen 2 ⁡ ϕ s ^ + s sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ ϕ ^ + 3 z   z ^

b) Teste o teorema do divergente para essa função, usando o quarto de cilindro (raio 2, altura 5) mostrado na Figura 1.43.

c) Encontre o rotacional de v.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A - Primeiro encontramos a divergência da função:

∇ ∙ v → = 1 s ∂ ∂ s s 2 2 + sen 2 ⁡ ϕ + 1 s ∂ ∂ ϕ s sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ + ∂ ∂ z ( 3 z )

Logo, obtemos o seguinte resultado

∇ ∙ v → = 4 + 2 sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ - sin 2 ⁡ ϕ + 3 = 4 + 3 + 1

Visto que sen 2 ⁡ ϕ + cos 2 ⁡ ϕ = 1 , com isso, nós temos que

∇ ∙ v → = 8

Passo 2

B - Integre a divergência sobre o volume do cilindro. (Consultando a figura 1.43):

∫ ∇ ∙ v → d V = 8 ∫ d V = 8 V

Sendo o volume igual a

V = 1 4 R 2 π h   C i l i n d r o

Substituindo os termos

V = π 4 ∙ 2 2 ∙ 5 = 5 π

Com isso, nós obtemos que

8 V = 8 ∙ 5 π = 40 π

Passo 3

Agora vamos fazer as integrais de superfície. Primeiro vamos fazer a face superior:

z = 5 ;     d S → = z ^ s   d s d ϕ

Com isso, a integral fica da seguinte forma:

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 15 s   d s d ϕ = 15 ∙ 1 2 ∙ 2 2 ∙ π 2 = 15 π

A integral sobre a face inferior será zero, pois z = 0 naquela face. Agora, a integral sobre a superfície curva cilíndrica:

s = 2 ;   ;     d S → = 2   d z d ϕ   r ^

E a integral fica

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 2 2 + sen 2 ⁡ ϕ 2 d z d ϕ = 4 ∙ 5 ∫ 0 π 2 2 + sen 2 ⁡ ϕ d ϕ

Desenvolvendo um pouco mais

∫ 0 2 ∫ 0 π 2 2 2 + sen 2 ⁡ ϕ 2 d z d ϕ = 20 π + 1 2 ∫ 0 π 2 1 - cos ⁡ 2 ϕ d ϕ = 20 π + π 4 - 1 2 sen ⁡ 2 ϕ 0 π 2 = 25 π

As integrais sobre as duas faces restantes serão zero, pois ϕ = 0 ou ϕ = π / 2 e o componente ϕ do campo é igual a zero para estes valores de ϕ . A soma é, portanto, 40 π , e o dois resultados concordam, como dito antes.

Passo 4

C – O rotacional é dado por

∇ × v → = 1 s ∂ ∂ s s 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ - ∂ ∂ ϕ s 2 + sin 2 ⁡ ϕ

Desenvolvendo um pouco mais

∇ × v → = 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ - 2 sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ = 0

Assim, o rotacional da função é zero, e é irracional.

Resposta

a )   ∇ ∙ v → = 8

b )   ∫ ∇ ∙ v → d V = 40 π

c )   ∇ × v → = 0