a) Encontre o divergente da função
b) Teste o teorema do divergente para essa função, usando o quarto de cilindro (raio 2, altura 5) mostrado na Figura 1.43.
c) Encontre o rotacional de v.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!
A - Primeiro encontramos a divergência da função:
Logo, obtemos o seguinte resultado
Visto que , com isso, nós temos que
Passo 2
B - Integre a divergência sobre o volume do cilindro. (Consultando a figura 1.43):
Sendo o volume igual a
Substituindo os termos
Com isso, nós obtemos que
Passo 3
Agora vamos fazer as integrais de superfície. Primeiro vamos fazer a face superior:
Com isso, a integral fica da seguinte forma:
A integral sobre a face inferior será zero, pois naquela face. Agora, a integral sobre a superfície curva cilíndrica:
E a integral fica
Desenvolvendo um pouco mais
As integrais sobre as duas faces restantes serão zero, pois ou e o componente do campo é igual a zero para estes valores de . A soma é, portanto, , e o dois resultados concordam, como dito antes.
Passo 4
C – O rotacional é dado por
Desenvolvendo um pouco mais
Assim, o rotacional da função é zero, e é irracional.