Encontre a energia armazenada em uma esfera sólida uniformemente carregada de raio R e carga q . Faça-o de três formas diferentes:

(a) Use a Equação 2.43. Você encontrou o potencial no Problema 2.21.

(b) Use a Equação 2.45. Não se esqueça de integrar sobre todo o espaço.

(c) Use a Equação 2.44. Tome um volume esférico de raio a . O que acontece quando a → ∞ ?

Passo 1

Faaaala meu povo!! Como vocês estão? Bora lá resolver mais uma questãozinha?

No enunciado (a), precisamos encontrar a energia armazenada W , definida por:

W = 1 2 ∫ ρ V   d r

Agora traremos a equação do problema 2.21:

V = ρ 2 ϵ 0 R 2 - r 2 3 = 1 4 π ϵ 0   q 2 R   3 - r 2 R 2

Passo 2

Aplicaremos V em W :

W = 1 2 ρ 1 4 π ϵ 0   q 2 R   ∫ 0 R 3 - r 2 R 2 4 π r 2   d r

= q ρ 4 ϵ 0 R   3 r 3 3 - 1 R 2   r 5 5 R 0 = q ρ 4 ϵ 0 R   R 3 - R 3 5

= q ρ 5 ϵ 0   R 2 =   q R 2 5 ϵ 0   q 4 3 π R 3 = 1 4 π ϵ 0   3 5   q 2 R

Passo 3

Na letra (b), utilizaremos:

W = ϵ 0 2 ∫ E 2   d r .

Na parte de fora ( r > R ) :

E = 1 4 π ϵ 0   q r 2 r ^

Na parte de dentro ( r < R ) :

= 1 4 π ϵ 0   q R 3 r ^

Portanto:

W = ϵ 0 2   1 ( 4 π ϵ 0 ) 2 q 2   ∫ R ∞ 1 r 4 r 2   4 π   d r + ∫ 0 R r R 3 2 4 π r 2 d r

= 1 4 π ϵ 0   q 2 2 - 1 r ∞ R + 1 R 6   r 5 5 R 0 = 1 4 π ϵ 0   q 2 2   1 R + 1 5 R

Finalizando:

W = 1 4 π ϵ 0   3 5   q 2 R

Confere com o exemplo.

Passo 4

Para finalizar, no enunciado (c) utilizaremos:

W = ϵ 0 2 ∮ S V E . d a + ∫ γ E 2 d r

γ é grande suficiente para incluir toda a carga, mas por outro lado arbitrariamente. Vamos usar a esfera de raio a > R . Onde:

V = 1 4 π ϵ 0   q r

Passo 5

Seguindo o desenvolvimento:

W = ϵ 0 2 ∫ r = a 1 4 π ϵ 0   q r 1 4 π ϵ 0   q r 2 r 2 sin ⁡ θ d θ   d ϕ + ∫ 0 R E 2 d r + ∫ R a 1 4 π ϵ 0   q r 2 2 4 π r 2   d r

= ϵ 0 2 q 2 4 π ϵ 0 2   1 a 4 π + q 2 4 π ϵ 0 2   4 π 5 R + 1 4 π ϵ 0 2 4 π q 2 - 1 r a R  

= 1 4 π ϵ 0   q 2 2   1 a + 1 5 R - 1 a + 1 R = 1 4 π ϵ 0   3 5   q 2 R

Como a → ∞ , a contribuição da superfície integral 1 4 π ϵ 0   q 2 2 a tende a zero, enquanto o volume integral 1 4 π ϵ 0   q 2 2 a 6 a 5 R - 1   atrai a folga.

Prontinho, pessoal!! Bora resolver mais uma questão juntos?

Resposta

(a) 1 4 π ϵ 0   3 5   q 2 R

(b) W = 1 4 π ϵ 0   3 5   q 2 R

(c) 1 4 π ϵ 0   3 5   q 2 R