Encontre a força líquida que o hemisfério sul de uma esfera uniformemente carregada exerce sobre hemisfério norte. Expresse sua resposta em termos do raio R e da carga total Q.

Passo 1

Faaaala, galera! Bora pra mais uma. Primeiramente vamos lembrar que o campo elétrico E de uma esfera carregada é dado por:

E = 1 4 π ϵ 0 Q R 3 r

E a força por unidade de volume será dada por:

f = ρ E = Q 4 3 π R 3 Q 4 π ϵ 0 R 3 r = 3 ϵ 0 Q 4 π ϵ 0 R 3 2 r

A componente da força na direção do eixo z, será dada por:

d F z = f z d τ = 3 ϵ 0 Q 4 π R 3 2 r c o s θ ( r 2 s e n θ d r d θ d ϕ )

Passo 2

Agora, a força total no hemisfério norte da esfera, será:

F z = ∫ 0 2 f z d τ = 3 ϵ 0 Q 4 π R 3 2 ∫ 0 R r 3 d r   ∫ 0 π 2 c o s θ s e n θ d θ ∫ 0 2 π d ϕ

Resolvendo as integrais, teremos:

F z = 3 ϵ 0 Q 4 π R 3 2 R 4 4 s e n 2 θ 2 0 π 2 2 π = 3 Q 2 64 π ϵ 0 R 2

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima😉

Resposta

F z = 3 Q 2 64 π ϵ 0 R 2