Encontre as fórmulas para r , θ ,   ϕ em termos de x , y , z (em outras palavras, o inverso de Equação 1.62).

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

As coordenadas cartesianas podem ser expressas em termos de coordenadas polares, com isso, nós temos as seguintes relações

x = r cos ⁡ ϕ sen ⁡ θ

y = r s en ⁡ ϕ sen ⁡ θ  

z = r cos ⁡ θ

Elevando ao quadrado as duas primeiras equações e somando-as obtemos

x 2 + y 2 = r 2 sen 2 ⁡ θ

Adicionando z 2 para esta expressão, nós temos que

x 2 + y 2 + z 2 = r 2

A terceira equação nos dá uma expressão para θ

θ = arccos ⁡ z r = arccos ⁡ z x 2 + y 2 + z 2

Finalmente, dividindo a segunda equação pela primeira obtemos

y x = sen ⁡ θ cos ⁡ θ → ϕ = arctan ⁡ y x

Passo 2

A última expressão vale apenas quando x > 0 e deve ser modificada em outras regiões do plano.

ϕ = arctan ⁡ y x ,     x > 0 , y ≥ 0 arccot ⁡ x y ,     y > 0 arctan ⁡ y x + π ,     x < 0 arccot ⁡ x y + π ,     y < 0

A escolha de ϕ obviamente não é única e a função é fadada a ser descontínua em alguma linha de meia começando na origem e a convenção geral é que ϕ = 0 em R + × { 0 } , e sentido é anti-horário com módulo de 2 π .

Resposta

r = x 2 + y 2 + z 2

θ = arccos ⁡ z x 2 + y 2 + z 2

tan ⁡ ϕ = y x