Enunciado

Encontre x como função t para um movimento que começa em repousa, na origem, sob a influencia de uma força constante de Minkowski na direção x. Deixe a sua resposta na forma implícita (t como função de x)

Resposta:

2 K t m c = z 1 + z 2 + ln ⁡ z + 1 + z 2

Onde:

z = 2 K x m c 2

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Sabemos que a força de Minkowski é:

K = d p d τ = c o n s t a n t e

Assim, façamos:

d p d t d t d τ = K

Mas d t d τ = 1 1 - v 2 c 2 e sendo p o momento, então p = m γ v = m v 1 - v 2 c 2

Assim, temos

d d t m v 1 - v 2 c 2 = K m 1 - v 2 c 2

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Multipliquemos ambos os lados por d t d x = 1 v

d t d x d d t m v 1 - v 2 c 2 = d d x   m v 1 - v 2 c 2 = 1 v   K m 1 - v 2 c 2

Façamos w = v 1 - v 2 c 2 assim ficando:

d w d x = K m 1 w → d w d x   w = K m

w 2 2 d d x = K m

d w 2 = 2 K m d x

w 2 = 2 K m x + c o n s t a n t e

Mas a constante é 0 se v = 0

Assim:

w 2 = 2 K m x

Passo 3

Voltemos com w = v 1 - v 2 c 2

w 2 = v 2 1 - v 2 c 2 = 2 K m x

v 2 = 2 K m x - 2 K m   x   v 2 c 2

v 2 1 + 2 K m x c 2 = 2 K m   x

v 2 = 2 K x m 1 + 2 K m x c 2 = c 2 1 + m c 2 2 K x

Como dito antes d x d t = v

d x d t = c 1 + m c 2 2 K x

∫ c   d t = ∫ 1 + m c 2 2 K x   d x

c t =   ∫ 1 + m c 2 2 K x   d x

Façamos m c 2 2 K = a 2 assim:

c t = ∫ 1 + a 2 x   d x = ∫ x + a 2 x   d x

Façamos x = y 2 → d x = 2 y   d y

c t = ∫ y 2 + a 2 y     2 y   d y = 2   ∫ y 2 + a 2   d y

c t = y y 2 + a 2 + a 2 ln ⁡ y + y 2 + a 2 + c o n s t a n t e

Sendo x=0 então y=0, então 0 = a 2 ln ⁡ a + c o n s t a n t e → c o n s t a n t e =   - a 2 ln ⁡ a

c t = y y 2 + a 2 + a 2 ln ⁡ y + y 2 + a 2 - a 2 ln ⁡ a

c t = y y 2 + a 2 + a 2 ( ln ⁡ y + y 2 + a 2 - ln ⁡ a )  

c t = y y 2 + a 2 + a 2 ln ⁡ y + y 2 + a 2 a

c t =   y y 2 + a 2 + a 2 ln ⁡ y a +   y a 2 + 1

c t = a 2 y a y a 2 + 1 + ln ⁡ y a +   y a 2 + 1

Façamos y a = z = x   2 K m c 2

∴ 2 K t m c = z 1 + z 2 + ln ⁡ z + 1 + z 2

Resposta

∴ 2 K t m c = z 1 + z 2 + ln ⁡ z + 1 + z 2