Enunciado

Encontre o gradiente das seguintes funções:

  1. f x ,   y ,   z = x 2 + y 3 + z 4 ;
  2. f x ,   y ,   z = x 2 y 3 z 4 ;
  3. f x ,   y ,   z = e x sen ⁡ ( y ) ln ⁡ ( z ) .

Passo 1

Fala galera! Vamos relembrar como calculamos o gradiente de uma função.

∇ f x ,   y ,   z = f x ,   y ,   z ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j → + ∂ ∂ z k →

Então, vamos começar!

Passo 2

  1. f x ,   y ,   z = x 2 + y 3 + z 4
  2. ∇ f x ,   y ,   z = x 2 + y 3 + z 4 ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j → + ∂ ∂ z k →

    ∇ f x ,   y ,   z = ∂ x 2 + y 3 + z 4 ∂ x i → + ∂ x 2 + y 3 + z 4 ∂ y j → + ∂ x 2 + y 3 + z 4 ∂ z k →

    ∇ f x ,   y ,   z = 2 x i → + 3 y 2 j → + 4 z 3 k →

    Passo 3

  3. f x ,   y ,   z = x 2 y 3 z 4
  4. ∇ f x ,   y ,   z = x 2 y 3 z 4 ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j → + ∂ ∂ z k →

    ∇ f x ,   y ,   z = ∂ x 2 y 3 z 4 ∂ x i → + ∂ x 2 y 3 z 4 ∂ y j → + ∂ x 2 y 3 z 4 ∂ z k →

    ∇ f x ,   y ,   z = 2 x y 3 z 4 i → + 3 x 2 y 2 z 4 j → + 4 x 2 y 3 z 3 k →

    Passo 4

  5. f x ,   y ,   z = e x sen ⁡ ( y ) ln ⁡ ( z )

∇ f x ,   y ,   z = e x sen ⁡ ( y ) ln ⁡ ( z ) ∂ ∂ x i → + ∂ ∂ y j → + ∂ ∂ z k →

∇ f x ,   y ,   z = ∂ e x sen ⁡ ( y ) ln ⁡ ( z ) ∂ x i → + ∂ e x sen ⁡ ( y ) ln ⁡ ( z ) ∂ y j → + ∂ e x sen ⁡ ( y ) ln ⁡ ( z ) ∂ z k →

∇ f x ,   y ,   z = e x sen ⁡ ( y ) ln ⁡ ( z ) i → + e x cos ⁡ y ln ⁡ z j → + e x sen ⁡ y z k →

Resposta

  1. f x ,   y ,   z = x 2 + y 3 + z 4
  2. ∇ f x ,   y ,   z = 2 x i → + 3 y 2 j → + 4 z 3 k →

  3. f x ,   y ,   z = x 2 y 3 z 4
  4. ∇ f x ,   y ,   z = 2 x y 3 z 4 i → + 3 x 2 y 2 z 4 j → + 4 x 2 y 3 z 3 k →

  5. f x ,   y ,   z = e x sen ⁡ ( y ) ln ⁡ ( z )

∇ f x ,   y ,   z = e x sen ⁡ ( y ) ln ⁡ ( z ) i → + e x cos ⁡ y ln ⁡ z j → + e x sen ⁡ y z k →

E aí, relembrou como calcula o vetor gradiente?Ficou com alguma dúvida?