Encontre o gradiente das seguintes funções:

  1. f (x , y , z) = x^2 + y^3 + z^4 ;
  2. f (x , y , z) = x^2 y^3 z^4 ;
  3. f (x , y , z) = e^x sen ( y ) ln ( z ) .

Passo 1

Fala galera! Vamos relembrar como calculamos o gradiente de uma função.

grad f_(x , y , z) = f (x , y , z) ((del)/(del x) vec i + (del)/(del y) vec j + (del)/(del z) vec k)

Então, vamos começar!

Passo 2

  1. f (x , y , z) = x^2 + y^3 + z^4
  2. grad f_(x , y , z) = (x^2 + y^3 + z^4) ((del)/(del x) vec i + (del)/(del y) vec j + (del)/(del z) vec k)

    grad f_(x , y , z) = ((del (x^2 + y^3 + z^4))/(del x) vec i + (del (x^2 + y^3 + z^4))/(del y) vec j + (del (x^2 + y^3 + z^4))/(del z) vec k)

    grad f_(x , y , z) = 2 x vec i + 3 y^2 vec j + 4 z^3 vec k

    Passo 3

  3. f (x , y , z) = x^2 y^3 z^4
  4. grad f_(x , y , z) = (x^2 y^3 z^4) ((del)/(del x) vec i + (del)/(del y) vec j + (del)/(del z) vec k)

    grad f_(x , y , z) = ((del (x^2 y^3 z^4))/(del x) vec i + (del (x^2 y^3 z^4))/(del y) vec j + (del (x^2 y^3 z^4))/(del z) vec k)

    grad f_(x , y , z) = 2 x y^3 z^4 vec i + 3 x^2 y^2 z^4 vec j + 4 x^2 y^3 z^3 vec k

    Passo 4

  5. f (x , y , z) = e^x sen ( y ) ln ( z )

grad f_(x , y , z) = (e^x sen ( y ) ln ( z )) ((del)/(del x) vec i + (del)/(del y) vec j + (del)/(del z) vec k)

grad f_(x , y , z) = ((del (e^x sen ( y ) ln ( z )))/(del x) vec i + (del (e^x sen ( y ) ln ( z )))/(del y) vec j + (del (e^x sen ( y ) ln ( z )))/(del z) vec k)

grad f_(x , y , z) = e^x sen ( y ) ln ( z ) vec i + e^x cos y ln z vec j + (e^x sen y)/(z) vec k

Resposta

  1. f (x , y , z) = x^2 + y^3 + z^4
  2. grad f_(x , y , z) = 2 x vec i + 3 y^2 vec j + 4 z^3 vec k

  3. f (x , y , z) = x^2 y^3 z^4
  4. grad f_(x , y , z) = 2 x y^3 z^4 vec i + 3 x^2 y^2 z^4 vec j + 4 x^2 y^3 z^3 vec k

  5. f (x , y , z) = e^x sen ( y ) ln ( z )

grad f_(x , y , z) = e^x sen ( y ) ln ( z ) vec i + e^x cos y ln z vec j + (e^x sen y)/(z) vec k

E aí, relembrou como calcula o vetor gradiente?Ficou com alguma dúvida?