Encontre a largura da região de dispersão anômala para o caso de uma única ressonância ω 0 . Assuma que γ ≪ ω 0 . Mostre que o índice de refração assume seus valores máximo e mínimo em pontos onde o coeficiente de absorção está a meia altura do pico.

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Começamos com a expressão para a (m,n)-ésima (já que são duas coordenadas) componente do campo magnético:

B z = B 0 cos ⁡ m π x a cos ⁡ n π y b

A partir disso podemos obter o B x , B y , E x   e   E y ​ via 9.180 (lembre-se que E z = 0 ):

E y = i ω c 2 - k 2 ω ∂ B z ∂ y = i ω ω c 2 - k 2 n π b B 0 cos ⁡ m π x a sen ⁡ n π y b

Para o caso de E x

E x = i ω ω c 2 - k 2 ∂ B z ∂ x = i ω ω c 2 - k 2 m π a B 0 cos ⁡ n π y b sen ⁡ m π x a

Já para B x

B x = i k ω c 2 - k 2 ∂ B z ∂ x = i k ω c 2 - k 2 m π b B 0 sen ⁡ m π x a cos ⁡ n π y b

E finalmente, para B y

B y = i k ω c 2 - k 2 ∂ B z ∂ y = i k ω c 2 - k 2 n π b B 0 cos ⁡ m π x a sen ⁡ n π y b

Passo 2

Primeiro encontramos o vetor de Poynting médio usando o resultado do Problema 9.12:

S → = 1 2 μ 0 R E → × B * →

Expandindo as componentes de E → e B * → , nós temos que:

E → = E x x ^ + E y y ^ e i k z - ω t

B * → = B x x ^ + B y y ^ + B z z ^ e - i k z - ω t

Com isso, vamos fazer o produto vetorial para esses dois vetores

E → × B * → = x ^ y ^ z ^ E x E y 0 B x * B y * B z * = x ^ E y B z * - y ^ E x B z * + z ^ E x B y * - E y B x *

O vetor de Poynting médio (e, portanto, a potência) apontará na direção z, portanto, precisamos apenas dos termos nos colchetes próximos ao z ^ :

E x B y * = ω k ω c 2 - k 2 2 n π b 2 B 0 2 co s 2 ⁡ m π x a sen 2 ⁡ n π y b

E y B x * = - ω k ω c 2 - k 2 2 m π a 2 B 0 2 se n 2 ⁡ m π x a cos 2 ⁡ n π y b

Assim, o componente z do vetor de Poynting médio é:

S z = 1 2 μ 0 ω k π 2 B 0 2 ω c 2 - k 2 2 n b 2 cos 2 ⁡ m π x a sen 2 ⁡ n π y b + m a 2 sen 2 ⁡ m π x a cos 2 ⁡ n π y b

Passo 3

A potência é igual à integral de superfície deste componente sobre a seção transversal do guia de onda:

P = ∫ 0 a ∫ 0 b S z   d x d y

Precisamos calcular as seguintes integrais:

∫ 0 a cos 2 ⁡ m π x a   d x = ∫ 0 a cos 2 ⁡ m π x a d m π x a a m π

Desenvolvendo um pouco mais,

∫ 0 a cos 2 ⁡ m π x a   d x = ∫ 0 a 1 + cos ⁡ 2 m π x a d m π x a = a 2 m π m π x a 0 a

Que é igual a

∫ 0 a cos 2 ⁡ m π x a   d x = a 2

A parte de cos ⁡ ( 2 u ) desaparece sobre a integral, uma vez que é periódica em a. Da mesma forma teremos:

∫ 0 b cos 2 ⁡ n π x b   d x = b 2 ;   ∫ 0 a sen 2 ⁡ m π x a   d x = a 2 ;     ∫ 0 b sen 2 ⁡ n π x b   d x = b 2

Passo 4

Com isso a potência é:

P = 1 2 μ 0 ω k π 2 B 0 2 ω c 2 - k 2 2 n b 2 a b 4 + m a 2 a b 4   = 1 2 μ 0 ω k π 2 B 0 2 ω c 2 - k 2 2 a b 4 n b 2 + m a 2

Nós temos a seguinte propriedade:

ω m n 2 = c 2 π 2 n b 2 + m a 2 ;     ω c 2 - k 2 = ω m n 2 c 2

Com isso, nós temos que

P = 1 8 μ 0 ω k B 0 2 c 2 ω m n 2 a b

Resposta

Resposta nos passos