Encontre o potencial dentro e fora de uma esfera sólida uniformemente carregada cujo raio é R e cuja carga total é q . Use o infinito como ponto de referência. Calcule o gradiente de V em cada região e verifique se ele fornece o campo correto. Esboce V ( r ) .

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? A fórmula pra encontrarmos o potencial elétrico está abaixo:

V r = - ∫ ∞ r E d l

Neste exercício, vamos usar o campo elétrico pronto de outros problemas, para integrarmos e encontrarmos o potencial elétrico. Bora lá!!!

Passo 2

Para o interior de uma esfera uniformemente carrega temos o seguinte campo elétrico:

E = 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

Então, o potencial elétrico dentro da esfera é:

V r = - q 4 π ϵ 0 ∫ ∞ r 1 r 2 d r

Integrando.

V r = q 4 π ϵ 0 1 r

Para a parte de fora da esfera, o campo elétrico é:

E = 1 4 π ϵ 0 q R 3 r r ^

Portanto, o potencial elétrico é definido por:

V r = - q 4 π ϵ 0 ∫ ∞ r 1 r 2 d r - q 4 π ϵ 0 ∫ R r r → R 3 d r

Integrando os dois termos e aplicando os limites.

V r = q 4 π ϵ 0 1 R - 1 R 3 r 2 - R 2 2

Pronto, aqui está o campo elétrico dentro e fora da esfera!!!

Passo 3

Nosso próximo passo é verificar, se o potencial elétrico fornece o campo elétrico correto.

Para isso, vamos derivar os potenciais elétricos e verificar se eles resultam no campo elétrico respectivo.

Quando r > R .

∇ V = q 4 π ϵ 0 ∂ ∂ r 1 r r ^

∇ V = - q 4 π ϵ 0 1 r 2 r ^

Como E = - ∇ V . Então, o potencial foi verificado.

Quando r < R .

∇ V = q 4 π ϵ 0 1 2 R ∂ ∂ r 3 - r 2 R 2 r ^

∇ V = - q 4 π ϵ 0 r R 3 r ^

Então, os dois potenciais estão verificados!!!

Resposta

Dentro da esfera V r = q 4 π ϵ 0 1 r   .

Fora da esfera V r = q 4 π ϵ 0 1 R - 1 R 3 r 2 - R 2 2 .