Encontre o potencial dentro e fora de uma esfera sólida uniformemente carregada cujo raio é e cuja carga total é . Use o infinito como ponto de referência. Calcule o gradiente de em cada região e verifique se ele fornece o campo correto. Esboce .
Passo 1
Falaaa, tudo belezaa?? A fórmula pra encontrarmos o potencial elétrico está abaixo:
Neste exercício, vamos usar o campo elétrico pronto de outros problemas, para integrarmos e encontrarmos o potencial elétrico. Bora lá!!!
Passo 2
Para o interior de uma esfera uniformemente carrega temos o seguinte campo elétrico:
Então, o potencial elétrico dentro da esfera é:
Integrando.
Para a parte de fora da esfera, o campo elétrico é:
Portanto, o potencial elétrico é definido por:
Integrando os dois termos e aplicando os limites.
Pronto, aqui está o campo elétrico dentro e fora da esfera!!!
Passo 3
Nosso próximo passo é verificar, se o potencial elétrico fornece o campo elétrico correto.
Para isso, vamos derivar os potenciais elétricos e verificar se eles resultam no campo elétrico respectivo.
Quando .
Como . Então, o potencial foi verificado.
Quando .
Então, os dois potenciais estão verificados!!!
Resposta
Dentro da esfera .
Fora da esfera .