Encontre o potencial no eixo de um cilindro sólido uniformemente carregado, a uma distância z do centro. O comprimento do cilindro é L , seu raio é R , e a densidade de carga é ρ . Use o seu resultado para calcular o campo elétrico nesse ponto. (Considere que z > L / 2 .)

Passo 1

Falaaa, tudo belezaa?? Nesta questão vamos aproveitar o resultado do Problema 2.25c, que diz que o potencial elétrico em um disco é:

V = σ 2 ϵ 0 R 2 + z 2 - z

Podemos concluir que um cilindro nada mais é do que um disco esticado, então neste exercício vamos substituir z por x e σ por ρ   d x .

E para calcularmos o campo elétrico vamos usar a seguinte fórmula E = - ∇ V . Bora lá!!!

Passo 2

O enunciado nos diz para considerarmos z > L / 2 , isso define nossos limites de integração.

V = ρ 2 ϵ 0 ∫ z - L / 2 x + L / 2 R 2 + z 2 - z d x

V = ρ 4 ϵ 0 x R 2 + x 2 + R 2 ln ⁡ x + R 2 + x 2 - x 2 x + L / 2 z - L / 2

V = ρ 4 ϵ 0 x + L 2 R 2 + z + L 2 2 - z - L 2 R 2 + z - L 2 2 + R 2 ln ⁡ x + L 2 + R 2 + x + L 2 2 x - L 2 + R 2 + z - L 2 2 - 2 z L

Tudo isso é o potencial elétrico!!! Hahaha

Passo 3

O campo elétrico é definido por:

E = - z ^ ∂ V ∂ z

Derivando parcialmente o potencial em relação a z e simplificando, encontramos:

E = - z ^ ρ 4 ϵ 0 2 R 2 + z + L 2 2 - 2 R 2 + z - L 2 2 - 2 L

E = z ^ ρ 2 ϵ 0 L + R 2 + z - L 2 2 - R 2 + z + L 2 2

Resposta

V = ρ 4 ϵ 0 x + L 2 R 2 + z + L 2 2 - z - L 2 R 2 + z - L 2 2 + R 2 ln ⁡ x + L 2 + R 2 + x + L 2 2 x - L 2 + R 2 + z - L 2 2 - 2 z L

E = z ^ ρ 2 ϵ 0 L + R 2 + z - L 2 2 - R 2 + z + L 2 2