Enunciado

Encontre o potencial fora de um tubo de metal infinitamente longo, de raio R , colocado em ângulos retos em um campo elétrico E 0 originalmente é uniforme. Encontre a carga superficial induzida no tubo. [Use o resultado obtido no Problema 3.23.]

Passo 1

E aí, pessoal! Tudo beleza? Bora resolver essa juntos. Galera, o problema nos diz para usar o resultado do problema 3.23 ou seja usaremos a expressão do potencial a seguir:

V ( s , ϕ ) = a 0 + b 0 l n s +   ∑ k = 1 ∞ [ s k ( a k cos ⁡ k ϕ + b k s e n   k ϕ ) + s - k ( c k cos ⁡ k ϕ + d k s e n   k ϕ   ) ]

Estabelecendo o potencial V = 0 no plano y z , e com o campo elétrico E 0 na direção do eixo x vamos ter as seguintes condições de contorno:

1 ª         →               V = 0 ,                     q u a n d o   s = R 2 ª               →                   V →   - E 0 x =   - E o s c o s ϕ ,         f o r ≫ R ,

Passo 2

Para k ≠ 1 , teremos:

a 0 = b 0 = b k = d k = a k = c k = 0

Portanto, a expressão para o potencial:

V s , ϕ = a 1 s + c 1 s c o s ϕ

Passo 3

Das condições de contorno, teremos que:

Da 1 ª :

c 1 =   - a 1 R 2

Da 2 ª :

a 1 = - E 0

Aplicando esses valores na expressão obtida anteriormente para o potencial:

V s , ϕ = - E 0 s + E 0 R 2 s c o s ϕ

Ou colocando o termo E 0 em evidência:

V s , ϕ =   - E 0 s R s 2 - 1 c o s ϕ

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

V s , ϕ =   - E 0 s R s 2 - 1 c o s ϕ