Encontre o potencial médio sobre uma superfície esférica de raio R devido a uma arga pontual q localizada d e n t r o (em outras palavras, o mesmo que acima, mas com z   < R ). (Neste caso, é claro, a equação de Laplace não funciona dentro da esfera.) Mostre que, em geral,

V m é d i o = V c e n t r o +   Q e n c 4 π ϵ 0           ,

onde V c e n t r o é o potencial no centro devido a todas as cargas e x t e r n a s , e Q e n c é a carga encerrada total.

Passo 1

Faaala, galera! Bora resolver essa questãozinha. Inicialmente, vamos calcular o potencial médio sobre a superfície esférica de raio R para uma carga pontual q dentro da esfera. Centralizando a esfera na origem e fazendo com que q   fique sobre o eixo z , o potencial da superfície vai ser:

V =   1 4 π ϵ 0 q r

Onde:

r 2 = z 2 + R 2 - 2 z R c o s θ

O potencial médio será dado por:

V m é d i o = 1 4 π R 2 q 4 π ϵ 0   ∫ z 2 + R 2 - 2 z R c o s θ - 1 2   R 2 s e n θ d θ d ϕ  

= q 4 π ϵ 0 1 2 z R   z 2 + R 2 - 2 z R c o s θ 0 π

Como temos que z < R :

z 2 + R 2 - 2 z R c o s θ = ( R - z )

Portanto:

V m é d i o = q 4 π ϵ 0 1 2 z R z + R - R - z =   1 4 π ϵ 0 q R  

Passo 2

Agora que calculamos o potencial médio para uma carga pontual q no centro da esfera, podemos definir a expressão para um grupo de cargas no interior:

V m é d i o =   1 4 π ϵ 0 Q e n c R  

Pelo princípio da superposição essa expressão também será válida para cargas externas. O potencial médio sobre a esfera (devido ao grupo de cargas externas) vai ser igual ao potencial líquido que elas produzem no centro V c e n t r o , portanto:

V m é d i o = V c e n t r o +   Q e n c 4 π ϵ 0 R    

E aqui finalizamos a questão, galera! Até a próxima 😊

Resposta

V m é d i o = V c e n t r o +   Q e n c 4 π ϵ 0 R