Encontre o potencial no vão infinito do Exemplo 3.3 se o contorno em x = 0 consiste de duas tiras de metal: uma, de y = 0 a y = a 2 , é mantida em potencial constante V 0 , e a outra, de y = a 2 a y = a , tem potencial - V 0 .

Passo 1

Faaala, galera! Bora resolver essa. Inicialmente, vamos ter que a expressão em série para o potencial em relação a x   e   y será dada por:

V x ,   y =   ∑ n = 1 ∞ C n e - n π x a s e n n π y a

Em que:

C n = 2 a   ∫ 0 a V 0 y s e n n π y a d y

Para o nosso caso, temos as seguintes condições de contorno:

V 0 y =   + V 0 ,               p a r a           0 < y < a 2 - V 0 ,             p a r a         a 2 < y < a  

Utilizando as condições de contorno para encontrar os valores de C n , teremos:

C n = 2 a   V 0     ∫ 0 a 2 s e n n π y a d y - ∫ a 2 a s e n n π y a d y

= 2 V 0 a   - cos ⁡ n π y a n π a 0 a 2   +     cos ⁡ n π y a n π a a 2 a

= 2 V 0 n π - cos ⁡ n π 2   + cos ⁡ 0 + cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 2

= 2 V 0 n π   1 + - 1 n - 2 cos ⁡ n π 2

Passo 2

Para o termo entre os colchetes, teremos:

n = 1         :         1 - 1 - 2 cos ⁡ π 2 = 0 , n = 2         :         1 + 1 - 2 cos ⁡ π = 4 , n = 3         :         1 - 1 - 2 cos ⁡ 3 π 2 = 0 , n = 4         :         1 + 1 - 2 cos ⁡ 2 π = 0 ,

Com isso, vamos ter que o termo entre colchetes será igual a 0 para n par ou divisível por 4 e igual a 4 para os outros casos:

C n =   8 V 0 n π ,                   n = 2 ,   6 ,   10 ,   14 ,   … ( g e n e r a l i z a n d o ,   t e r e m o s   4 j + 2   p a r a   j = 0 ,   1 ,   2 ,   … 0 ,                                           o u t r o s   c a s o s

Passo 3

Por fim, aplicando o valor que encontramos para os coeficientes C n na equação do potencial, teremos:

V x ,   y = 8 V 0 π     ∑ n = 2 ,   6 ,   10 , … e - n π x a   s e n n π y a n = 8 V 0 π     ∑ j = 0 ∞ e - ( 4 j + 2 ) π x a   s e n 4 j + 2 π y a ( 4 j + 2 )  

E assim finalizamos a questão, galera!! Até a próxima 😊

Resposta

V x ,   y = 8 V 0 π     ∑ n = 2 ,   6 ,   10 , … e - n π x a   s e n n π y a n = 8 V 0 π     ∑ j = 0 ∞ e - ( 4 j + 2 ) π x a   s e n 4 j + 2 π y a ( 4 j + 2 )